1、第6讲基本不等式1.(2019徐州期中,12)已知正实数a,b满足a+2b=1,则1+1a2+1b的最小值为.2.函数f(x)=2x+92x+1的最小值是.3.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,9)已知正实数a,b满足a+b=1,则2a2+1a+2b2+4b的最小值为.4.(2019镇江期末,12)已知x0,y0,x+y=1x+4y,则x+y的最小值为.5.(2019无锡期中,12)设x,y为正实数,且41+x+32+y=1,则xy的最小值为.6.已知a,b,c(0,+),则(a2+b2+c2)2+52bc+ac的最小值为.7.(2019南通、如皋二模,13)已知正数x,y满足3x+y+1
2、x+2y=132,则x-1y的最小值为.8.(2018江苏南京高三上学期第一次段考)已知函数y=x+mx-1(m0).(1)若m=1,求当x1时函数的最小值;(2)当x0,y0,所以x+y3.5.答案27解析对于41+x+32+y=1,去分母得4(2+y)+3(1+x)=(1+x)(2+y),即xy=x+3y+9,又x,y为正实数,所以xy23xy+9(当且仅当x=3y,即x=9,y=3时,取“=”),即xy-923xy,两边平方,得(xy)2-30(xy)+810,解得xy3或xy27,由xy23xy+9,知xy3不成立,所以xy27.6.答案4解析因为a,b,c(0,+),所以(a2+b2
3、+c2)2+52bc+ac=a2+15c2+b2+45c22+52bc+ac2a2c25+24b2c252+52bc+ac=45(ac+2bc)2+52bc+ac245(ac+2bc)252bc+ac=4,当且仅当a2=15c2,b2=45c2,45(ac+2bc)2=5时取等号,故(a2+b2+c2)2+52bc+ac的最小值为4.7.答案-12解析x-1y=x-1y+132-132=x-1y+3x+y+1x+2y-132=4x+1x+y+1y-13224x1x+2y1y-132=-12,当且仅当x=12,y=1时取等号.8.解析(1)m=1时,y=x+1x-1=x-1+1x-1+1.因为x1,所以x-10,所以y=x-1+1x-1+12(x-1)1x-1+1=3,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时取等号,所以当x1时函数的最小值为3.(2)因为x1,所以x-10,所以y=x-1+mx-1+1=-1-x+m1-x+1-2(1-x)m1-x+1=-2m+1,当且仅当1-x=m1-x,即x=1-m时取等号,即函数的最大值为-2m+1,所以-2m+1=-3,解得m=4.
