1、第8讲函数与方程1函数的零点函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点函数零点的存在定理函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)f(b)0，则yf(x)在(a，b)内存在零点2.二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法条件(1)函数yf(x)在区间a，b上连续不断；(2)在区间端点的函数值满足f(a)
2、f(b)0方法不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，f(3)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数yf
3、(x)在区间1，6上的零点至少有3个 函数f(x)x的零点有_个解析：函数f(x)x的零点个数是方程x0的解的个数，即方程x的解的个数，也就是函数yx与y的图象的交点个数在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.答案：1 已知函数f(x)2axa3，若x0(1，1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是_解析：依题意可得f(1)f(1)0，即(2aa3)(2aa3)0，解得a1.答案：(，3)(1，)函数零点所在区间的判断 典例引领 函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1，2)B(2，3)C(1，e)和(3，4)D(e，)【解析】因为f(x)0(x0)，所以f(x)在
4、(0，)上单调递增，又f(3)ln 30，f(2)ln 210，所以f(2)f(3)f(0)0，gf，所以由图象关系可得x00时，f(x)2xx3，则f(x)的零点个数为()A1B2C3D4【解析】(1)当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以0是函数f(x)的一个零点当x0时，令f(x)2xx30，则2xx3.分别作出函数y2x和yx3的图象如图所示，可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数f(x)在(0，)内有一个零点又根据图
5、象的对称性知，当x0时函数f(x)也有一个零点综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.【答案】(1)D(2)C函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数 通关练习1函数f(x)的零点个数为()A3B2C7D0解析：选B.法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点2函数f(x)的零点个
6、数是()A0B1C2D3解析：选C.当x0时，令f(x)0，即x22x0，解得x2，或x0(舍去)所以当x0时，只有一个零点；当x0时，f(x)exx2，而f(x)ex1，显然f(x)0，所以f(x)在0，)上单调递增，又f(0)e00210，所以当x0时，函数f(x)有且只有一个零点综上，函数f(x)只有2个零点，故选C.函数零点的应用学生用书P33 典例引领 (1)(分离参数法)若函数f(x)4x2xa，x1，1有零点，则实数a的取值范围是_(2)(数形结合思想)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_【解析】(1)因为函数f(x)4x2xa，x1，1有零
7、点，所以方程4x2xa0在1，1上有解，即方程a4x2x在1，1上有解方程a4x2x可变形为a(2x)2，因为x1，1，所以2x，所以.所以实数a的取值范围是.(2)函数g(x)f(x)m有3个零点，转化为f(x)m0的根有3个，进而转化为yf(x)，ym的交点有3个画出函数yf(x)的图象，则直线ym与其有3个公共点又抛物线顶点为(1，1)，由图可知实数m的取值范围是(0，1)【答案】(1)(2)(0，1)已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法 通关练习1(2018河南新乡模拟)若函数f(x)log2(xa)与g(x)x2(a1)x4(a5)存在相同的零点，则a的值为()A4或B4或2
8、C5或2D6或解析：选C.g(x)x2(a1)x4(a5)(x4)x(a5)，令g(x)0，得x4或xa5，则f(4)log2(4a)0或f(a5)log2(2a5)0，解得a5或a2.2(2018四川绵阳模拟)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A(1，3)B(1，2)C(0，3)D(0，2)解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以即解得0a3，故选C.3(2018福建漳州八校联考)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有三个零点，则实数m的取值范围是_解析：令g(x)f(x)m0，得f(x)m，则
9、函数g(x)f(x)m有三个零点等价于函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：当x0时，f(x)x2x，若函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，则m0，即实数m的取值范围是.答案： 明确三个等价关系(三者相互转化)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是相应函数的零点的个数，亦即该函数的图象与x轴交点的个数如：二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图象从根的判别式、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件 函数的对称性与函数零点之和已知x0为函数f(
10、x)的零点(1)若函数f(x)为奇函数，则x0也为函数f(x)的零点，故奇函数的所有零点之和为0.(2)若函数f(x)为偶函数，则x0也为函数f(x)的零点，故偶函数的所有零点之和为0.(3)若函数f(x)的图象关于直线xb对称，则2bx0也为函数f(x)的零点，若该函数有2n个零点，则该函数所有零点之和为2nb. 易误防范(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件 1(2018湖北襄阳四校联考)函数f(x)3xx32在区间(0，1)内的零点个数是()A0B1C2D3解析：
11、选B.由题意知f(x)单调递增，且f(0)10210，即f(0)f(1)1，0b1，0b1，f(x)axxb，所以f(1)1b0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(1，0)上存在零点3(2018辽宁大连模拟)已知偶函数yf(x)(xR)满足f(x)x23x(x0)，若函数g(x)则yf(x)g(x)的零点个数为()A1B3C2D4解析：选B.作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数yf(x)g(x)有3个零点，故选B.4(2018云南省第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)2 017(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不
12、等式正确的是()AacbdBabcdCcdabDcabd解析：选D.f(x)2 017(xa)(xb)x2(ab)xab2 017，又f(a)f(b)2 017，c，d为函数f(x)的零点，且ab，cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知cabd，故选D.5(2018河北承德模拟)若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()ABC(，0)D(，0)解析：选B.由题意知，当x0时，函数f(x)有1个零点，即2x2a0在x0上有根，所以02a1解得00时函数f(x)有2个零点，只需解得a，综上可得实数a的取值范围是a.6(2018河北石家庄模拟)若函
13、数f(x)m的零点是2，则实数m_解析：依题意有f(2)m0，解得m9.答案：97设函数yx3与y的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_解析：设f(x)x3，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与y的图象如图所示因为f(1)110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1，2)答案：(1，2)8已知函数f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：当x0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解得0a0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f
14、(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解：(1)如图所示(2)因为f(x)故f(x)在(0，1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，所以2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根1已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0Df(x0)的符号不确定解析：选C.在同一坐标系中作出函数y2x，ylogx的图象(图略)，由图象可知，当0x0a时，有2x0logx0，即f(x0)0.2(2018贵州省适应性考试)已知函数f(x)，函数g(x)
15、f(2x)b，其中bR.若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A(7，8)B(8，)C(7，0)D(，8)解析：选A.由已知可得f(x)将f(x)g(x)0转化为f(x)f(2x)b，令函数F(x)f(x)f(2x)，则F(x)，作出函数F(x)的图象，如图，要使F(x)的图象与直线yb有四个交点，则有b2，解得7b8.3(2018江苏镇江模拟)函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围为_解析：当x0时，令|x22x1|0，解得x1(x1舍去)，所以函数f(x)在(，0上有一个零点，因此f(x)在(0，)上有一个零点又因为y2x1a在x(0，)上单调递增，所以只需2
16、1a0，解得a.答案：4函数f(x)2cos x(4x6)的所有零点之和为_解析：原问题可转化为求y与y2cos x的图象在4，6内的交点的横坐标的和，因为上述两个函数图象均关于x1对称，所以x1两侧的交点关于x1对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数在4，6上的图象(图略)，可知在x1两侧分别有5个交点，所以所求和为5210.答案：105已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求gf(1)的值；(2)若方程gf(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解：(1)利用解析式直接求解得gf(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，
17、1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象(图略)，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t0.所以f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)因为g(x)4ln xx4ln x2(x0)，所以g(x)1.令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0，1)1(1，3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)
18、幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快()(2)在(0，)内，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yx(0)的增长速度()(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题()(4)不存在x0，使ax0x0，解得x2.3，因为x为整数，所
19、以3x6.当x6时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20.故y(2)对于y50x115(3x6，xZ)，显然当x6时，ymax185，对于y3x268x1153(6185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模
20、型，根据已知条件确定二次函数解析式结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解但应关注以下两点：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值提醒(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解 通关练习1某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数yf(x)的图象，当血液中药物残留量不小于2
21、40毫克时，治疗有效设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A上午10：00B中午12：00C下午4：00D下午6：00解析：选C.当x0，4时，设yk1x，把(4，320)代入，得k180，所以y80x.当x4，20时，设yk2xb.把(4，320)，(20，0)分别代入可得所以y40020x.所以yf(x)由y240，得或解得3x4或40)模型 典例引领 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)在年产量不小于
22、8万件时，W(x)6x38(万元)每件产品售价为5元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0x8时，L(x)5x3x24x3；当x8时，L(x)5x335.所以L(x)(2)当0x8时，L(x)(x6)29.此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9万元，当x8时，L(x)35352 352015，此时，当且仅当x，即x10时，
23、L(x)取得最大值15万元因为90)模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)ax与反比例函数f(x)叠加而成的(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)ax的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f(x)ax的形式提醒(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域(2)利用模型f(x)ax求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解：设矩形温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 m，所以
24、蔬菜种植面积y(x4)8082(4x200，即1.12xx3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年(2)Mlg 1 000lg 0.0013(3)6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9lg A1lg A0lg ，则109，5lg A2lg A0lg ，则105，所以104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍【答案】(1)B(2)610 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的
25、形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义 (2018湛江模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析：当t0时，ya；当t8时，yae8ba，故e8b.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b
26、，则t24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一答案：16 解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下： “对勾”函数的性质函数f(x)x(a0)(1)该函数在(，和，)上单调递增，在，0)和(0，上单调递减(2)当x0时，x时取最小值2；当x0时，x时取最大值2. 易错防范(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的
27、定义域(2)注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()解析：选D.因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合2在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2xByx21Cy2x2Dylog2
28、x解析：选D.根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意3利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y30x4 000，则每吨的成本最低时的年产量为()A240吨B200吨C180吨D160吨解析：选B.依题意，得每吨的成本为30，则23010，当且仅当， 即x200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨4(2018福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间
29、称为“半衰期”当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A8B9C10D11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(nN*)个“半衰期”后的含量为，由得n10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”故选C.5汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C甲车以
30、80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对6.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间
31、用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为_(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m，宽为m，则Sx(x2200x)当x100时，Smax2 500 m2.答案：2 500 m27(2018上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若用联通130应最少打_秒长途电话才合算
32、解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x分钟，所需话费为y元，若使用联通130，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y120.365x3.6x5.4x12；若使用移动“神州行”，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y0.65x4.2x7.2x.若用联通130合算，则5.4x127.2x，解得x(分钟)400(秒)答案：4008一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与
33、x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)解析：当0x20时，y(33xx2)x100x232x100；当x20时，y260100x160x.故y(xN*)当0x20时，yx232x100(x16)2156，x16时，ymax156.而当x20时，160x140，故x16时取得最大年利润答案：y(xN*)169A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，
34、B城供电量为每月10亿度(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)x的取值范围为10x90.(2)y5x2(100x)2(10x90)(3)因为y5x2(100x)2x2500x25 000，所以当x时，ymin.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少10某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(150.1x)万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)
35、与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)，所以每套丛书的供货价格为3032(元)，故书商所获得的总利润为5(10032)340(万元)(2)每套丛书售价定为x元时，由得0x150.设单套丛书的利润为P元，则Px(30)x30，因为0x0，所以P(150x)120，又(150x)221020，当且仅当150x，即x140时等号成立，所以Pmax2012
36、0100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元1已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A40万元B60万元C120万元D140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120620(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20240(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(12040)440(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40280(万元)，共获利4080120(万元)，故选
37、C.2我们定义函数yx(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义yx(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如4.34，55；4.35，55.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)()A2x1B2(x1)C2xD2x解析：选C.如x1时，应付费2元，此时2x14，2(x1)4，排除A，B；当x0.5时，付费为2元，此时2x1排除D，故选C.3某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，
38、k，b为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时解析：由已知条件，得192eb，所以bln 192.又因为 48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，所以e11k()().设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)3192()324.答案：244某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型f(x)pqx(q0，q1)；f(x)logpxq(p0，p1)；f(x)x2pxq.(1)能较准确反映超市月销售额f(x)与
39、月份x关系的函数模型为_(2)若所选函数满足f(1)10，f(3)2，则f(x)min_解析：(1)因为f(x)pqx，f(x)logpxq是单调函数，f(x)x2pxq中，f(x)2xp，令f(x)0，得xp，f(x)有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选f(x)x2pxq模拟函数(2)因为f(1)10，f(3)2，所以解得，p8，q17，所以f(x)x28x17(x4)21，所以f(x)minf(4)1.答案：(1)(2)15声强级Y(单位：分贝)由公式Y10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)(1)平常人交谈时的声强约为106W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听
40、到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5107W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为106W/m2时，由公式Y10lg得Y10lg10lg 10660(分贝)(2)当Y0时，由公式Y10lg得10lg0.所以1，即I1012W/m2，则最低声强为1012W/m2.(3)当声强为5107W/m2时，声强级Y10lg10lg(5105)5010lg 5，因为5010lg 550，所以这两位同学会影响其他同学休息6某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是1
41、0，100(单位：万元)现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型yf(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：()yx1；()ylog2x2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求解：(1)设奖励函数模型为yf(x)，则该函数模型满足的条件是：当x10，100时，f(x)是增函数；当x10，100时，f(x)5恒成立当x10，100时，f(x)恒成立(2)(a)对于函数模型()yx1，它在10，100上是增函数，满足条件
42、；但当x80时，y5，因此，当x80时，y5，不满足条件；故该函数模型不符合公司要求(b)对于函数模型()ylog2x2，它在10，100上是增函数，满足条件，x100时，ymaxlog210022log255，即f(x)5恒成立满足条件，设h(x)log2x2x，则h(x)，又x10，100，所以，所以h(x)0，所以h(x)在10，100上是递减的，因此h(x)h(10)log21040，b0时当ab1时，函数化为f(x)x.定义域为(，0)(0，)奇偶性：f(x)xf(x)，函数为奇函数之后只需讨论x0时的情况.，单调性：y(x1x21)，令x1x2x，x1x210，解得x1，当0x1x
43、21时，f(x)为减函数；当1x1x2时，f(x)为增函数渐近线：当x0时，y；当x时，yx.作出函数图象，如图1.值域：当x1时，f(x)有最小值2，值域为(2，)yax.定义域为(，0)(0，)奇偶性：f(x)f(x)，函数为奇函数.，单调性：yax2ax1(ax1x2b)，令x1x2x，ax1x2b0解得x，当0x1x2时，f(x)为减函数；当x1x2时，f(x)为增函数渐近线：当x0时，y；当x时，yax.图象略值域：当x时，f(x)a2，即为最小值2，值域为. 当a0，b0，b0)定义域为(，0)(0，)奇偶性：f(x)f(x)，函数为奇函数.，单调性：y(ax1x2b)，同情况1，
44、x，得f(x)在上为增函数，在上为减函数渐近线：当x0时，y；当x时，yax.图象略值域：当x时，f(x)a2，即为最大值2，值域为. 当a0，b0，f(x)为增函数渐近线：当x0时，y；当x时yx.作出函数图象，如图3.值域为(，)改函数为f(x)ax(此时b0)定义域为(，0)(0，)奇偶性：f(x)f(x)，函数为奇函数.，单调性：y(ax1x2b)，得y0，f(x)为增函数渐近线：当x0时，y；当x时，yax.图象略值域为(，) 当a0时此情况与情况3基本相同，作出函数图象，如图4.设函数为f(x)ax(此时a0)定义域为(，0)(0，)奇偶性：f(x)f(x)，函数为奇函数单调性：y(ax1x2b)(x0)，得y0，f(x)为减函数渐近线：当x0时，y；当x时，yax.图象略值域为.