1、第2节古典概型1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).4古典概型的概率公式P(A).提醒 划分基本事件的标准必须统一，保证基本事件的等可能性思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)“在适宜条件下，
2、种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件( )(3)从3，2，1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率( )答案：(1)(2)(3)(4)小题查验1一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( )A(男，女)，(男，男)，(女，女)B(男，女)，(女，男)C(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D(男，男)，(女，女)解析：C由于两个孩子出
3、生有先后之分，所以基本事件有四种情况2(教材改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )A.B.C. D.解析：D抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种所求概率为.3(2018全国卷)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A0.6 B0.5C0.4 D0.3解析：D设2名男同学为a，b,3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，
4、(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为0.3.4如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的长，则称这3个数为一组勾股数从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A. B.C. D.解析：C基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10个可构成勾股数的基本事件为(3,4,5)，故
5、所求概率为，选C.5从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_.解析：从五个数中任意取出两个数的可能结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5”的结果有(1,4)，(2,3)，故所求概率为.答案：考点一简单的古典概型问题(自主练透)题组集训1(2019全国卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.B.C. D.解析：B测量过指标的兔子设为A，B，C，没有测量过指标的兔子设为E，F，随机取出3只
6、有ABC，ABE，ABF，AEF，BCE，BCF，BEF，CEF，ACE，ACF共10种，则恰有2只测量过指标的有ABE，ABF，BCE，BCF，ACE，ACF共6种，其概率为.2(2020西北师大附中冲刺诊断)已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：3214211919252719328004785896635312973960215463882
7、30113507965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为( )A0.25 B0.30C0.35 D0.40解析：B利用古典概型的概率计算公式，即可求出小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531，共6组随机数，所以所求概率为0.30，故选B.求古典概型中基本事件的方法(1)列举法：适合基本事件个数较少且易一一列举的情况，列举时一定要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误(2)树状图法：适合列举较为复杂的基本事件(3)列表法：借助表格形式列举基本事件，适合情况较复杂或基本事件较多的情况考点二
8、较复杂的古典概型问题(多维探究)命题角度1古典概型与平面几何相结合1将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22有公共点的概率为_解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有CC36种，其中满足直线axby0与圆(x2)2y22有公共点，即满足，a2b2的数组(a，b)有65432121种，因此所求的概率等于.答案：命题角度2古典概型与平面向量相结合2(2020威海调研)从集合2,3,4,5中随机抽取一个数a，从集合1,3,5中随机抽取一个数b，则向量m(a，b)与向量n(1，1)垂直的概率为( )A.B.C. D.解析：A由题意可知
9、m(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况因为mn，即mn0，所以a1b(1)0，即ab，满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个，故所求的概率为.命题角度3古典概型与函数相结合3已知M1,2,3,4，若aM，bM，则函数f(x)ax3bx2x3在R上为增函数的概率是( )A. B.C. D.解析：A记事件A为“函数f(x)ax3bx2x3在R上为增函数”因为f(x)ax3bx2x3，所以f(x)3ax22bx1.当函数f(x)在R上为增函数时，f(x)0在R上恒成
10、立又a0，所以(2b)243a4b212a0在R上恒成立，即a.当b1时，有a，故a可取1,2,3,4，共4个数；当b2时，有a，故a可取2,3,4，共3个数；当b3时，有a3，故a可取3,4，共2个数；当b4时，有a，故a无可取值综上，事件A包含的基本事件有4329种又a，b1,2,3,4，所以所有的基本事件共有4416种故所求事件A的概率为P(A).故选A.较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算考点三古典概型与统计图表相结合(师生共研)典例(2020东三省四市教
11、研联合体模拟)“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站进行了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄(单位：岁)分组：第1组15,25)，第2组25,35)，第3组35,45)，第4组45,55)，第5组55,65，得到的频率分布直方图如图所示(1)求出a的值；(2)求这200人年龄的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(结果保留一位小数)；(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求从第2组中恰好抽到2人的概率解(1)由10(0.0100.015a0.0
12、300.010)1，得a0.035.(2)平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5(岁)设中位数为x岁，则100.010100.015(x35)0.0350.5，解得x42.1.故这200人年龄的中位数为42.1岁(3)第1,2组的人数分别为20,30，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则从第1,2组中分别抽取2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3，则从这5人中随机抽取3人，有(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)
13、，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共10个基本事件，其中从第2组中恰好抽到2人，有(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，共6个基本事件，故从第2组中恰好抽到2人的概率为.古典概型与统计图表交汇问题的处理方法(1)根据统计的相关知识，确定相关事件应满足的条件；(2)列举所有符合条件的基本事件结果；(3)利用古典概型概率计算公式求解概率跟踪训练从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组50,100)，第二组100,1
14、50)，第三组150,200)，第四组200,250)，第五组250,300)，第六组300,350，相应的样本频率分布直方图如图所示(1)求频率分布直方图中的x的值；(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的方法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2个，求至少有1名拔尖工的概率解：(1)根据题意，(0.002 40.003 6x0.004 40.002 40.001 2)501，解得x0.006 0.(2)由题知50名工人中拔尖工有3人，熟练工有6人，从中抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工有4人可设拔尖工分别为A1，A2，熟练工分别
15、为B1，B2，B3，B4，则从样本中任取2个的情况有：A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共15种其中，至少有1名是拔尖工的情况有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，共9种，故至少有1名拔尖工的概率是.1抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )A.B.C. D.解析：B抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子
16、的情况有36种，所以所求概率p，故选B.2(2020陕西质检)从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为()A. B.C. D.解析：A从1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12种结果，其中大于30的两位数有31,32,34,41,42,43，共6个，所以这两位数大于30的概率p.故选A.3从集合1,2,3,4中随机抽取一个数a，从集合1,2,3中随机抽取一个数b，则向量m(a，b)与向量n(2,1)共线的概率为( )A. B.C. D.解析：A由题意可知
17、m(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，m(a，b)与向量n(2,1)共线，a2b0，即a2b，有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为.4有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面上的数字之和能被5整除的概率为( )A. B.C. D.解析：B把“两个玩具斜向上的面的数字之和能被5整除”记为事件A，每个玩具斜向上的面的数字之和均有4种情况，两个玩具各抛掷一次，斜向上的面的数字之和共有16
18、种情况，其中能被5整除的有4种情况：(2,3)、(3,2)、(1,4)、(4,1)故P(A).5某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1,2,3,4,5的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖；否则不中奖则中奖的概率为( )A. B.C. D.解析：C由题得试验的所有基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，由古典概型的概率公式得p.故选C.6甲、乙两名同学各自
19、等可能地从政治、历史、地理3门课程中选择2门作为考试科目，则他们选择的课程完全相同的概率为_.解析：甲和乙各有三种选择方法，故基本事件的总数有339种，其中选课完全相同的有3种，故概率为.答案：7(2020四川冲刺演练)现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球任意排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为_.解析：4个小球排成一排的所有情况为：红红白蓝，红红蓝白，红白红蓝，红白蓝红，红蓝红白，红蓝白红，白蓝红红，白红蓝红，白红红蓝，蓝白红红，蓝红白红，蓝红红白，共有12种，其中中间2个小球都是红球的有2种中间2个小球不都是红球的概率为p1.答案：8从两名男
20、生和两名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为_.解析：两名男生记为A1，A2，两名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1,12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2,4种情况，则所求的概率p.答案：9某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同
21、学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15种(2)选出的2人来自在不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6种因此，事件M发生的概率P(M).10(2020成都一诊)某部门为了解该企业在生产过程中的用水量情况，
22、对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：日用水量(单位：吨)70,80)80,90)90,100频数36m频率n0.5p(1)求m，n，p的值；(2)已知样本中日用水量在80,90)内的这6个数据分别为83,85,86,87,88,89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率解：(1)36m12，m3，n，p.m3，np.(2)从这6个数据中随机抽取2个数据的情况有：83,85，83,86，83,87，83,88，83,89，85,86，85,87，85,88，85,89，86,87，86,88，86,89，87,88，87,89，88,89，共15种其中2个数据都小于或等于86的情况有83,85，83,86，85,86，共3种故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率P1.