1、5.2平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的性质学 习 目 标核 心 素 养1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小(重点、难点)2理解两平面垂直的定义3掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用(重点)1.通过对二面角和平面与平面垂直定义的理解，培养学生数学抽象素养2通过应用平面与平面垂直的性质定理，培养学生逻辑推理素养.1. 二面角概念一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面图示及记法记作：二面角AB或l二面角的平面角文字以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面
2、内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角平面角是直角的二面角称为直二面角图示及记法思考：1.二面角与平面几何中的角有什么区别？提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？提示：无关如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关2平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面与平面垂直，记作：.(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横
3、边垂直如图所示3平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直作用由平面与平面垂直得到直线与平面垂直.图形语言思考：3.已知两个平面垂直时，可以得到那些垂直关系？提示：已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直1两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面()A垂直B平行C相交但不垂直D以上都有可能D两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面可能垂直，平行，也可能相交但不垂直2在二面角l的棱l上任选一点O，若AOB是二面角l的平面角，则必须具有的条件是()AAOBO，AO，BOBAOl
4、，BOlCABl，AO，BODAOl，BOl，且AO，BOD由二面角的平面角的定义可知选D3平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_平行由题意知n，而m，mn.二面角及其平面角的概念【例1】下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()ABCDB由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分
5、别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故不对；由定义知正确故选B二面角概念的注意点(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别.(3)可利用实物模型，作图帮助判断.1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A相等B互补C相等或互补D关系无法确定D如图所示，平面EFDG平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定求二面角的大小探究问题1
6、求二面角的步骤是什么？提示：(1)作出二面角的平面角；(2)证明该角为平面角；(3)将二面角的平面角置于一个三角形中求其大小2把二面角的平面角置于某个三角形内求其大小时，常用到什么方法？提示：若该三角形是直角三角形，可利用三角函数的定义确定一个三角函数值，进而求其大小；若该三角形不是直角三角形，则利用余弦定理求其余弦值的大小，进而求出平面角的大小【例2】四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB求二面角BPCD的平面角的度数思路点拨解作BEPC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图由题意知PBCPDC，则BPEDPE，从而PBEPDE.DEPBEP90，且BEDE
7、.BED为二面角BPCD的平面角PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC又ABBC，PAABA，BC平面PAB，又PB平面PAB，BCPB设ABa，则BEa，BDa.sinBEO.BEO60，BED120.二面角BPCD的平面角的度数为120.1在例2中，若四边形ABCD是正方形，平面PAD平面PCD，且PAAB，求二面角APDC的平面角的度数解平面PAD平面PCD 二面角APDC的平面角的度数为90.2例2的条件不变，求二面角BPAD的平面角的度数解PA平面ABCD，AB，AD平面ABCDABPA，ADPABAD为二面角BPAD的平面角又由题意知BAD90，二面角BPAD的平面角的度数为
8、90.3例2的条件不变，求二面角BPAC的平面角的度数解PA平面ABCD，AB，AC平面ABCDABPA，ACPABAC为二面角BPAC的平面角又四边形ABCD为正方形，BAC45，即二面角BPAC的平面角的度数为45.求二面角的三种方法(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.平面与平面垂直的性质定理及应用【例3】如图所示，P是四边形ABCD所在平
9、面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且DAB60.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD(1)若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB证明(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知DAB60，ABD为正三角形，G是AD的中点，BGAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD(2)如图，连接PG.PAD是正三角形，G是AD的中点，PGAD，由(1)知BGAD又PGBGG.AD平面PBG.而PB平面PBG，ADPB平面与平面垂直的性质定理应用的注意点,若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直
10、、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线.2已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC证明如图，在平面PAC内作ADPC于点D，平面PAC平面PBC，AD平面PAC，且ADPC，AD平面PBC，又BC平面PBC，ADBCPA平面ABC，BC平面ABC，PABC，ADPAA，BC平面PAC，又AC平面PAC，BCAC1求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”2面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想1思考辨析(正确的
11、画“”，错误的画“”)(1)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直()(2)对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关()(3)已知平面，a，若ba，则b或b()提示(1)正确由线面垂直的判定定理及二面角平面角的定理可知其正确(2)错误平面角的大小与顶点在棱上的位置无关(3)错误若直线b，则b；若b，则b，否则不成立答案(1)(2)(3)2设平面平面，若平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，则()A直线a必垂直于平面B直线b必垂直于平面C直线a不一定垂直于平面D过a的平面与过b的平面垂直C当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面3已知平面平面
12、，则下列命题中真命题的个数是()内的任意直线必垂直于内的无数条直线；在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条直线；内的任意一条直线必垂直于；过内的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于.A4B3C2D1C设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线，为真命题；内垂直于与交线的直线垂直于平面，则它垂直于内的任意直线，为真命题；内不与交线垂直的直线不垂直于，为假命题；垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直，否则不垂直，为假命题4如图所示，在ABC中，ADBC，ABD的面积是ACD的面积的2倍，沿AD将ABC翻折，使翻折后BC平面ACD，求此时二面角BADC的大小解由已知BD2CD，翻折后，在RtBCD中，BDC60，而ADBD，CDAD，故BDC是二面角BADC的平面角，其大小为60.