1、1.3简单旋转体球、圆柱、圆锥和圆台学 习 目 标核 心 素 养1.理解旋转体球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征(重点)2能运用球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型(重点、难点)1.通过对旋转体结构特征的学习，培养学生直观想象素养2借助于与旋转体侧面展开图相关的计算，培养学生数学运算素养.1. 球、圆柱、圆锥和圆台球 圆柱、圆锥和圆台定义以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面球面所围成的几何体称为球体，简称球 分别以矩形的一边OO1、直角三角形的一条直角边SO、直角梯形垂直于底边的腰OO1所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几
2、何体分别称为圆柱、圆锥、圆台相关概念(1)半圆的圆心称为球心，连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径；(2)连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径(1)在旋转轴上的这条边的长度称为它们的高；(2)垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为它们的底面；(3)不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为它们的侧面；无论转到什么位置，这条边都称为侧面的母线图形及表示球用表示它球心的字母来表示，如球O圆柱、圆锥、圆台用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆柱O1O、圆锥SO、圆台O1O性质(1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径；(2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的
3、半径最大，等于球的半径(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形2. 旋转体(1)旋转面：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面(2)旋转体：封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体思考：1.连接圆锥底面上任意一点和顶点的连线都是圆锥的母线圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？提示：不一定圆柱的母线与轴是平行的2用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部1如图所示的图形中有()A圆柱、圆锥、圆台和球B圆柱、
4、球和圆锥C球、圆柱和圆台D棱柱、棱锥、圆锥和球B根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B2圆锥的母线有()A1条B2条C3条D无数条D圆锥底面上任意一点和圆锥顶点的连线都是圆锥的母线，所以圆锥的母线有无数条3下图是由哪个平面图形旋转得到的()A图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360得到旋转体的结构特征【例1】下列命题正确的是_(只填序号)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各
5、边旋转180形成的曲面围成的几何体是圆锥；球面上四个不同的点一定不在同一平面内；球的半径是球面上任意一点和球心的连线段以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；它们的底面为圆面；正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故错误；根据球的半径定义，知正确简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.(2)解题时要注意两个明确：明确由哪个平面图形旋转而成；明确旋转轴是哪条直线.1下列结论正确的是()A用一个平面去截圆锥，得
6、到一个圆锥和一个圆台B经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误故选D旋转体中的截面问题有关计算【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)由已知可得O1A2 cm，OB
7、5 cm.又由题意知腰长为12 cm，所以高AM3(cm)(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由SAO1SBO，可得，解得l20(cm). 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.2某地球仪上北纬30纬线圈的长度为12 cm，如图所示，则该地球仪的半径是_cm.4如图所示，由题意知，北纬30所在小圆的周长为12，则该小圆的半径r6，其中ABO30，所以该地球
8、仪的半径R4 cm.旋转体的有关计算探究问题1. 圆柱的底面半径和高分别是r，h，其侧面展开图是什么(指出其尺寸)?提示：圆柱的侧面是矩形，两边长分别为h和2r.2. 圆锥的底面半径和高分别是r，h，其侧面展开图是什么(指出其尺寸)?提示：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是，弧长是2r.【例3】如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r1，母线长l4，M为母线SA上的一个点，且SMx，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值思路点拨解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA的
9、长度L就是圆O的周长，L2r2.ASM36036090.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM(0x4)f(x)AM2x216(0x4)(2)绳子最短时，在展开图中作SRAM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在SAM中，SSAMSASMAMSR，SR(0x4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0x4)(3)f(x)x216(0x4)是增函数，f(x)的最大值为f(4)32.求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果.3如图所示，已
10、知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA40 cm，B1Q30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形A1B12rr10(cm)过点Q作QSAA1于点S，在RtPQS中，PS80403010(cm)，QSA1B110(cm)PQ10(cm)即蚂蚁爬过的最短路径长是10 cm.1圆柱、圆锥、圆台是分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体球是以半圆面的直径所在直线为旋转轴旋转一周所形成的2圆柱、圆锥、圆台
11、的关系如图所示1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)过圆锥轴的截面是全等的等边三角形()(2)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥()(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球()提示(1)错误不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形(2)错误直角三角形只有绕一直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥(3)错误半圆绕其直径所在直线旋转一周形成是球面，而不是球答案(1)(2)(3)2如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A一个球体B一个球体中间挖去一个圆柱C一个圆柱D一个球体中间挖去一个长方体B圆面绕着直径所在的轴旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B3用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A圆柱B圆台C球体D棱台D圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形只有棱台可以截出三角形，故选D4若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，求这个圆锥的母线长解如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为ABC的边长，且SABCAB2，AB2，AB2.故圆锥的母线长为2.