1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一直线过定点问题【典例】(2020郑州模拟)已知O(0,0)和K(0,2)是平面直角坐标系中两个定点,过动点M(x,y)的直线MO和MK的斜率分别为k1,k2,且k1k2=- .(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程.(2)过点K作相互垂直的两条直线与轨迹C交于A,B两点,求证:直线AB过定点.【解题导思】序号联想解题(1)利用两点坐标表示出直线OM,MK的斜率,即可得到动点坐标所满足的条件(注意斜率存在的条件)(2)根
2、据点K的位置,确定过点K相互垂直的两直线斜率是否存在;若两直线斜率存在,则斜率互为负倒数.建立A,B两点坐标之间的关系,求出直线方程所满足的条件,进而确定定点.【解析】(1)由题意,知k1k2=-,得=-,整理得x2+y(y-2)=0,故C的方程为+(y-1)2=1(x0).(也可以写作x2+2y2-4y=0).(2)显然两条过点K的直线斜率都存在,设过点K的直线方程为y=kx+2,联立解得x=,y=,设直线AB的方程为:Ax+By+C=0,将x=,y=代入得+C=0整理得:2Ck2-4Ak+2B+C=0,由于两直线垂直,斜率乘积为-1,根据根与系数的关系=-1,即2B+3C=0,故直线AB过
3、定点.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,F1,F2分别为其左、右焦点,P为椭圆C上一点,且F1PF2的周长为4+2.(1)求椭圆C的方程.(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同的直线l1,l2,若直线l1交椭圆C于一点M(x1,y1),直线l2交椭圆C于一点N(x2,y2),x1x2,证明:直线MN过定点.【解析】(1)根据椭圆的离心率为,及F1PF2的周长为4+2,可
4、得 解得 所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线MN的方程为x=ny+m.联立方程组 ,整理得y2+2nmy+m2-4=0,所以y1+y2=,y1y2=.因为关于x轴对称的两条不同直线l1,l2的斜率之和为0,所以+=0,即+=0,所以2ny1y2+m-4=0,所以-+=0,所以m=1.所以直线MN方程为x=ny+1,所以直线MN过定点.考点二圆过定点问题【典例】(2020咸阳模拟)已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为- .(1)求动点C的轨迹方程.(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点
5、.【解题导思】序号联想解题(1)两直线的斜率存在,故动点C与A,B两点横坐标不相等;利用点的坐标表示出斜率,构造等式关系.(2)直线和曲线相切,可利用判别式建立直线方程中的参数之间的关系,代入方程求出点Q的坐标,转化为两个向量垂直,进而坐标化处理【解析】(1)设C(x,y).由题意得kACkBC=-(y0).整理,得+=1(y0).故动点C的轨迹方程为+=1(y0).(2)方法一:易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m.联立得方程组 消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.依题意得=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.设x1,x
6、2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的两个根,则x1+x2=,所以x1=x2=.所以P,即P.又Q(4,4k+m),设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由=0,得(4-t,4k+m)=0.整理,得(t-1)+t2-4t+3=0.由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).方法二:设P(x0,y0),则曲线C在点P处的切线PQ:+=1.令x=4,得Q.设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由=0,得(x0-t)(4-t)+3-3x0=0,即x0(1-t)+t2-4t+3=0.由x0的任意性,得1-t=0且
7、t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).圆过定点,可依据直径所对圆周角为直角直接转化为两条线段的垂直,进而转化为两个向量垂直,即两向量的数量积等于0,从而建立方程求解定点的坐标.(2019济南模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的右顶点为A,左焦点为F1,离心率e=,过点A的直线与椭圆交于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1,若=3+.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过圆E:x2+y2=4上任意一点P作圆E的切线l,l与椭圆交于M,N两点,以MN为直径的圆是否过定点,如果过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.【解析】(1)因为e=,所以a
8、=c,b=c,设B(-c,y0),代入椭圆方程得: |y0|=b,所以=|y0|F1A|=b2(1+),所以b2(1+)=3+,所以b2=6,所以a2=12,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,以MN为直径的圆的圆心为(2,0)或(-2,0),半径为2,以MN为直径的圆的标准方程为: (x+2)2+y2=4或(x-2)2+y2=4,因为两圆都过坐标原点,所以以MN为直径的圆过坐标原点,当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),因为直线与圆相切,所以圆心到直线l的距离d=2,所以m2=4k2+4,由化简得:(2k2+1)x2+4km
9、x+2m2-12=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=0,所以以MN为直径的圆过坐标原点,综上,以MN为直径的圆恒过坐标原点.考点三定值问题命题精解读考什么:(1)考查圆锥曲线中与定值有关问题的求解与证明等问题.(2)考查数学运算、逻辑推理以及数学建模的核心素养、考查函数与方程、转化与化归的数学思想等.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为基础,考查定值问题的求解与证明.新趋势:以定值问题为核心,与函数、平面向量等知识模块交汇.学霸好方法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(
10、1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;变量法:其解题流程为变量选择适当的动点坐标或动线中系数为变量函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数定值把得到的函数化简,消去变量得到定值与长度、角度相关的定值【典例】(2020济宁模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且椭圆C过点P.(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆C的右焦点为F,直线l与椭圆C相切于点A,与直线x=3相交于点B,求证:AFB的大小为定值.【解析】(1)因为椭圆C过点,所以+=1因为离心率为,所以=又因为a2=b2+c2由得a2=3,b2=2,c2=
11、1.所以椭圆C的方程为:+=1.(2)显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+m.由消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,由=24(3k2-m2+2)=0得m2=3k2+2.所以xA=-=-=-,所以yA=kxA+m=-+m=.所以切点A的坐标为,又点B的坐标为(3,3k+m),右焦点F的坐标为(1,0),所以=,=(2,3k+m),所以=2+(3k+m)=0,所以AFB=90,即AFB的大小为定值.代数式的定值【典例】已知抛物线C:y2=ax(a0)上一点P到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程.(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛
12、物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则a=4t,由点P在抛物线上,得at=,所以a=,则a2=1,由a0,得a=1,所以抛物线C的方程为y2=x.(2)因为点A在抛物线C上,且yA=1,所以xA=1.所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线的方程为x-3=m(y+1),即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1k2=-.所以k1k2为定值.1.(2019青岛模拟)已
13、知直线l过抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C的方程.(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.【解析】(1)由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.(2)由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),则k1=,k2=,k1k2=,联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中=4(k2+4k+
14、8)0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.因此k1k2为定值,且该定值为-1.2.已知,椭圆C经过点A,两个焦点分别为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程.(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.【解析】(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为+=1,因为A在椭圆上,所以+=1,解得b2=3,b2=-(舍去).所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线AE的方程为:y=k(x-1)+,代入+=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.设E(xE,yE),F(xF,
15、yF),因为点A在椭圆上,所以xE=,yE=kxE+-k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得xF=,yF=-kxF+k.所以直线EF的斜率kEF=.即直线EF的斜率为定值,其值为. 1.已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点与y2=8x的焦点重合且点A(2,)为椭圆上一点(1)求椭圆方程.(2)过点A任作两条与椭圆C相交且关于x=2对称的直线,与椭圆C分别交于P,Q两点,求证:直线PQ的斜率是定值.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),则椭圆C的一个焦点为F(2,0),故a2=b2+4,把点A代入椭圆方程得:+=1,解得: 所以椭圆C方程为+=1.(
16、2)由题意,可设直线AP的方程为y=k(x-2)+,则直线AQ的方程为y=-k(x-2)+,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=k(x1-2)+,y2=-k(x2-2)+,把直线AP的方程与椭圆C方程联立得:(1+2k2)x2+(4k-8k2)x+(8k2-8k-4)=0,2x1=,故x1=,同理可得x2=,所以kPQ=k=k=,所以直线PQ的斜率是定值.2.已知椭圆C:+=1(ab0)经过(1,1)与两点.(1)求椭圆C的方程.(2)过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证:+为定值.【解析】(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程,得 解得 所以椭圆C的方程为+=1.(2)由|MA|=|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A,B关于原点对称.若点A,B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时+=+=2=2.同理,若点A,B是椭圆的长轴顶点,则点M是椭圆的一个短轴顶点,此时+=+=2=2.若点A,B,M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k0),则直线OM的方程为y=-x,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),由 解得=,=,所以|OA|2=|OB|2=+=,同理|OM|2=,所以+=2+=2,故+=2为定值.关闭Word文档返回原板块高考资源网版权所有，侵权必究！
