1、第一章 三角函数12 任意角的三角函数12.1 任意角的三角函数(二)内 容 标 准学 科 素 养1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 三角函数线阅读教材 P1517，思考并完成以下问题在平面直角坐标系中，任意角 的终边与单位圆交于点 P，过点 P 作 PMx 轴，过点 A(1，0)作单位圆的切线，交 的终边或其反向延长线于点 T，如图所示，结合三角函
2、数的定义，你能得到 sin，cos，tan 与 MP，OM，AT 的关系吗？当 的终边不在坐标轴上时(1)以 M 为起点，P 为终点，规定当线段 MP 与 y 轴同向时，MP 的方向为正方向且表示正值，当 MP 与 y 轴反向时，MP 的方向为负方向且表示负值，那么，sin 可否用线段 MP 表示？提示：MPysin.(2)如果以 O 为起点，M 为终点，规定 OM 方向与 x 轴同向时，表示正值，OM 方向与 x 轴方向反向时，表示负值，那么，cos 与 OM 有什么关系？提示：OMxcos.(3)如果以 A 为起点，T 为终点，AT 方向与 y 轴方向相同时表示正值，AT 方向与y 轴方向
3、相反时表示负值，那么 tan 与 AT 有什么关系？提示：tan ATyx.知识梳理 如图为角 的三种三角函数，则 sin MP，cos OM，tan AT.有向线段 MP、OM、AT 为正弦线、余弦线、正切线思考 有向线段 MP 与线段 MP 有什么不同？提示：有向线段 MP 就是由 M 指向 P，规定了起点和终点，有方向线段 MP 只是两点 M、P 间的线段，无方向自我检测1如图，在单位圆中，角 的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线为 PM，正切线为 ATB正弦线为 MP，正切线为 ATC正弦线为 MP，正切线为 ATD正弦线为 PM，正切线为 AT答案：C2当 x0，2时，不等式 s
4、in x12的解集为_答案：x6x56探究一 三角函数线及其作法例 1 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1)34；(2)116.解析 正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.方法技巧 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从 A(1，0)点引 x 轴的垂线，交 的终边(为第一或第四象限角)或 终边的反向延长线(为第二或第三象限角)于点 T，即可得到正切线 AT.跟踪探究(1)作出3的正弦线；(2)作出43 的正切线解析：(1)作出3的正弦线 MP，如图所示(2)作
5、出43 的正切线 AT 如图所示探究二 利用函数线比较大小教材 P69 第 11 题比较大小：sin 37821，tan1 111.解析：sin 37821sin 1821tan 1 111tan 31，tan 31sin 31sin 1821，故 tan 1 111sin 37821.例 2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin23 与 sin45；(2)tan23 与 tan45.解析 如图所示，角23 的终边与单位圆的交点为 P，其反向延长线与单位圆的过点 A 的切线的交点为 T，作 PMx 轴，垂足为 M，sin23 MP，tan23 AT；45 的终边与单位圆的交点为 P
6、，其反向延长线与单位圆的过点 A 的切线的交点为T，作 PMx 轴，垂足为 M，则 sin45 MP，tan45 AT，由图可见，MPMP0，ATATsin45，(2)tan23 tan45.方法技巧 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负延伸探究 1.本例改为比较 cos23 和 cos45 的大小解析：由例题解析图可知，cos23OM，cos45OM.且|OM|OM|，又 OM0，OM0，OMcos45.探究三 利用三角函数线解不等式(组)角度 1 利用三角函数线解不等式例 3 在单位圆中画出适合
7、下列条件的角 的终边的范围，并由此写出角 的集合：(1)sin 32；(2)tan 1.解析(1)作直线 y 32 交单位圆于 A，B 两点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区域即为角 的终边的范围，如图所示，故满足条件的角 的集合为2k32k23，kZ.(2)在单位圆过点 A(1，0)的切线上取 AT1，连接 OT，OT 所在直线与单位圆交于 P1，P2 两点，则图中阴影部分即为角 终边的范围，如图所示，所以 的取值集合是4k0，即cos x12，sin x 22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，x2k3x2k34，kZ.角度 3 利用三角函数线证明三角不等式例 5 若
8、 02，证明：sin tan.证明 如图所示，在单位圆中画出三角函数线，连接 AP，SOAPS 扇形 OAPSOAT，12OAMP12lAPOA12OAAT，即 MPlAPAT，sin 0，sin2x34，32 sin x 32.如图，x2k3，2k3 2k23，2k43(kZ)，即 xk3，k3(kZ)，函数的定义域为k3，k3(kZ)课后小结1三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负具体地说，正弦线、正切线的方向同 y 轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同 x 轴一致，向右为
9、正，向左为负三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便2三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角 的三角函数线的画法，即先找到 P，M，T 点，再画出 MP，OM，AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒3三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了4当 的终边与 x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时 的正弦值、正切值
10、为 0，余弦值为1.当 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，的余弦值为 0，正切值不存在，正弦值为1.素养培优1比较三角函数大小，忽视三角函数线的方向典例 用三角函数线比较 cos 1 255与 cos 1 600的大小易错分析 此题易错有两点，一是不将角度化为 0360，使角的象限找错；二是不考虑余弦线的方向，而只看线段长度自我纠正 解析 cos 1 255cos(3360175)cos 175，cos 1 600cos(4360160)cos 160.如图，作 175、160的余弦线 OM1、OM2，OM1OM2，cos 175cos 160，即 cos 1 255cos 1 600.2利用函数线求角的区域、角的方向转错典例 已知12cos 32，利用单位圆中的三角函数线，确定角 的取值范围易错分析 此题易错有三点，一是把角的终边方向转错，使角区域求错，错写为66或2323；二是角的终边不分虚实；三是丢掉 2k.自我纠正 解析 如图，在坐标中作出6，6，23，23 的终边，OP1，OP2，OP3，OP4.适合题意的 是从 OP1 逆时针转到 OP3 或从 OP4 逆时针转到 OP2.故 的范围为2k232k6或2k62k23，kZ.课时 跟踪训练
