1、第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质做真题题型一圆锥曲线的定义与方程1(2019高考全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()Ay21B1C1 D1解析：选B由题意设椭圆的方程为1(ab0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以12，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1.故选B2(
2、2019高考全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4 D8解析：选D由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得p8，故选D3(一题多解)(2017高考全国卷)已知双曲线C：1 (a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A1 B1C1 D1解析：选B法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为k(k0)，即1，因为双曲线与椭圆1有公共焦点，所以4k5k123，解得k1，故双曲线C的方程为1.故选B法二：因为椭圆1的焦点为(3，0)，双曲线与椭圆1有公共焦点，所以a2b2(3)29，因为双曲线的一条渐
3、近线为yx，所以，联立可解得a24，b25，所以双曲线C的方程为1.4(2017高考全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_解析：法一：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0，4)，|FN|6.法二：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.答案：6题型二圆锥
4、曲线的几何性质1(2018高考全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A BC D解析：选D由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，因为PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2|F1F2|2c，所以|OF2|c，所以点P坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点P(2c，c)因为点P在过点A，且斜率为的直线上，所以，解得，所以e，故选D2(一题多解)(2019高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2
5、，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_解析：通解：因为0，所以F1BF2B，如图所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan BF1O，tan BOF2.因为tan BOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.优解：因为0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，又，所以A为F1B的中点，所以OAF2B
6、，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2为等边三角形由F2(c，0)可得B，因为点B在直线yx上，所以c，所以，所以e2.答案：23(一题多解)(2018高考全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24，由AMB90，得(x11，y11
7、)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，则k，取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.答案：2明考情1圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择、填空题的形式考查，常出现在第411 题或1516题的位置，着重考查圆锥曲线
8、的标准方程与几何性质，难度中等2圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大圆锥曲线的定义与标准方程典型例题 (1)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()ABC D(2)设F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()Axy0 Bxy0Cx2y0 D2xy0【解析】(1)如图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时
9、，FMN的周长最大此时|MN|，又c1，所以此时FMN的面积S2.故选C(2)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1F2|2c，则|PF2|2a最小，所以PF1F230.在PF1F2中，由余弦定理，可得cos 30，整理得c23a22ac，解得ca，所以b a.所以双曲线C的渐近线方程为yx.故选A【答案】(1)C(2)A(1)圆锥曲线的定义椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0)对点训练1设F1，
10、F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A BC D解析：选D如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，所以.2(2019福州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A1 B1C1 D1解析：选D不妨设B(0，b)，由2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，所以.又|4，c2a2b2，所以a22b216.由可得，a24，b26，所以双曲线C的方程为1.3过抛物线y
11、22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_解析：设直线AB的方程为xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y22pmyp20，所以y1y2p2，4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl，垂足为C，过B作BDl，垂足为D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：4圆锥曲线的性质典型例题 (1)(2019高考全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0
12、)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于 P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()ABC2 D(2)(2019济南市模拟考试)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且120，22，则椭圆E的离心率为()A BC D【解析】(1)如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为y2，将x2y2a2记为式，得x，则以OF为直径的圆与圆x2y2a2的相交弦所在直线的方程为x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，故选A(2)设|BF2|m，则|AF2|2m.连接BF1，由椭圆
13、的定义可知|AF1|2a2m，|BF1|2am.由120知AF1AF2，故在RtABF1中，(2a2m)2(3m)2(2am)2，整理得m.故在RtAF1F2中，|AF1|，|AF2|，故4c2，解得e.【答案】(1)A(2)C(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值(2)双曲线的渐近线的求法及用法求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得用法：(i)可得或的值(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程 对点训练1双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为
14、()Ayx ByxCyx Dyx解析：选A因为e，所以a2b23a2，所以ba.所以渐近线方程为yx.2(2019广州市调研测试)已知抛物线y22px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A1 B1C1 D2解析：选A如图，结合题意画出图形，因为抛物线的焦点坐标为，所以由题设知双曲线的右焦点的坐标为，所以a2b2.因为AFx轴，所以由点A在抛物线上可得A(取A在第一象限)，又点A在双曲线上，所以p.将代入得a2b2，即b44a44a2b2，所以4410，所以，从而e2(1)2，故e1.故选A直线与圆锥曲线的位置关系典型例题命题
15、角度一位置关系的判断及应用 在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由【解】(1)由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直
16、线MH与C没有其他公共点(1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到(2)直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切 命题角度二弦长问题 (2019高考全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.【解】设直线l
17、：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，则弦长|
18、AB|y1y2|(k为直线的斜率且k0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|求之 命题角度三定比、定点问题 已知椭圆C的两个焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，且经过点E.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且23，求直线l的斜率k的取值范围【解】(1)由解得所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得整理得y2y90，1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又，所以y1y2，所以y1y2(y1y2)2，则，2，因为23，所以2，即，且k0，解得0k.故直线l
19、的斜率k的取值范围是.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交(2)圆锥曲线以P(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是k(椭圆1)，k(双曲线1)，k(抛物线y22px)，其中k(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐标 对点训练1(2019高考全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解：(1)证明：
20、设D，A(x1，y1)，则x2y1.由于yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0
21、时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.2(2019湖南长沙模拟)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为(，0)，且经过点，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)(1)求椭圆C的方程；(2)若2，且直线l与圆O：x2y2相切于点N，求|MN|.解：(1)由题意知得(a24)(4a23)0，又a23b23，故a24，则b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)设M(m，0)，直线l：xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得y12y2.由得(t24)y22tmym240，则y1y2，y1y2.由y1y22y，y1y22y2y2y2
22、，得y1y22(y1y2)22(y1y2)2，所以2，化简得(m24)(t24)8t2m2.易知原点O到直线l的距离d，又直线l与圆O：x2y2相切，所以，即t2m21.由得21m416m2160，即(3m24)(7m24)0，解得m2，此时t2，满足0，所以M.在RtOMN中，|MN|.一、选择题1已知双曲线1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A1BC2 D2解析：选C由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bxay0的距离为b，即c2a23，又e2，所以a1，该双曲线的实轴的长为2a2.2若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，
23、则OFP的面积为()A B1C D2解析：选B设P(x0，y0)，依题意可得|PF|x012，解得x01，故y41，解得y02，不妨取P(1，2)，则OFP的面积为121.3(2019高考全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PFO的面积为()A BC2 D3解析：选A不妨设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h，所以SPFO.4(2019昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则()A B
24、C D3解析：选A如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|，|AF2|.所以.故选A5已知F是抛物线x24y的焦点，直线ykx1与该抛物线在第一象限内交于点A，B，若|AF|3|FB|，则k的值是()A BC D解析：选D显然k0.抛物线的准线l：y1，设其与y轴交于点F，则直线ykx1过点F.分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为A，B，根据抛物线定义，得|AF|AA|，|BF|BB|，根据已知，得3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则3，即x13x2.联立抛物线方程
25、与已知直线方程，消元得x24kx40，则x1x24k，由得x13k，x2k，又x1x24，所以3kk4，即k2，解得k(负值舍去)6(2019湖南湘东六校联考)已知椭圆：1(ab0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与相交于A，B两点若3，则k()A1 B2C D解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3，所以y13y2.因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以a2b，设bt，则a2t，故ct，所以1.设直线AB的方程为xsyt，代入上述椭圆方程，得(s24)y22styt20，所以y1y2，y1y2，即2y2，3y，得s2，k，故选D二、填空题7已知P(1，)
26、是双曲线C：1(a0，b0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是_解析：双曲线C的一条渐近线的方程为yx，P(1，)是双曲线C渐近线上的点，则，所以离心率e2.答案：28(2019高考全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)答案：(3，)9(2019洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且3，
27、抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1l于点A1，若四边形AA1EF的面积为6，则p_解析：不妨设点A在第一象限，如图，作BB1l于点B1，设直线AB与l的交点为D，由抛物线的定义及性质可知|AA1|AF|，|BB1|BF|，|EF|p.设|BD|m，|BF|n，则，即，所以m2n.又，所以，所以n，因为|DF|mn2p，所以ADA130.又|AA1|3n2p，|EF|p，所以|A1D|2p，|ED|p，所以|A1E|p，所以直角梯形AA1EF的面积为(2pp)p6，解得p2.答案：2三、解答题10(2019高考天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为
28、.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xp，yp)(xp0)，M(xM，0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xp，代入ykx2得yp，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得
29、1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.11已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围解：(1)由题知e，2b2，又a2b2c2，所以b1，a2，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y
30、25x1x2，所以4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，所以(4k25)4km()4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m2，k2，因为原点O到直线l的距离d，所以d21，又k2，所以0d2，所以原点O到直线l的距离的取值范围是.12(2019成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k12k2的值解：(1)由题意，得2b4，.又a2c2b2，所以a3，b2，c1.所以椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知A(3，0)，B(3，0)，F1(1，0)据题意，直线F1M的方程为y2(x1)记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M.设M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2)因为F1MF2N，所以根据对称性，得N(x2，y2)联立，消去y，得14x227x90.由题意知x1x2，所以x1，x2，k1，k2，所以3k12k2320，即3k12k2的值为0.
