1、专题二三角函数、解三角形与平面向量第 1 讲 三角函数的图象与性质考情研析 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.核心知识回顾1.同角关系式与诱导公式(1)同角三角函数的基本关系：01 sin2cos21，02 sincostan.(2)诱导公式：在k2，kZ 的诱导公式中“03 奇变偶不变，符号看象限”2三种三角函数的性质3函数 ysinx 的图象经变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤热点考向探究考向 1同角三角关系式、诱导公式例 1(1)(2019临
2、川第一中学等九校高三 3 月联考)已知(0，)，且 cos1517，则 sin2 tan()()A1517B1517C 817D 817答案 D解析 sin2 tan()costansin，因为(0，)，且 cos1517，所以 sin 1cos2115172 817.故选 D.(2)已知 sincos 2，(0，)，则 tan()A1B 22C 22D1答案 A解析 因为 sincos 2，所以(sincos)22，所以 sin21.因为(0，)，2(0,2)，所以 232，即 34，故 tan1.(3)已知 为锐角，且有 2tan()3cos2 50，tan()6sin()10，则 sin
3、()A.3 55B3 77C3 1010D3 53答案 C解析 由已知可得，2tan3sin50，tan6sin10，2得 tan3.为锐角，sin3 1010.故选 C.(1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐，特别注意函数名称和符号的确定(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二(3)关于 sin，cos 的齐次式，往往转化为关于 tan 的式子求解1(2019内江市高三第三次模拟)已知2，sin45，则tan4()A7B17C7D1
4、7答案 D解析 2，sin45，cos35，tan43.tan4 431143 117.故选 D.2已知 sin234，则 tan 1tan等于()A.83B103C113D4答案 A解析 由sin22sincos34，可得sincos38，所以tan 1tansincoscossin1sincos83.故选 A.3如果 f(tanx)sin2x5sinxcosx，那么 f(2)_.答案 65解析 f(tanx)sin2x5sinxcosxsin2x5sinxcosxsin2xcos2xtan2x5tanxtan2x1，f(x)x25xx21，则 f(2)65.考向 2三角函数的图象及应用例
5、2(1)(2019永州市高三第三次模拟)将函数 f(x)sin2x 3cos2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，所得函数的一个对称中心可以是()A.3，0B(0,0)C.6，0D3，0答案 A解析 f(x)sin2x 3cos2x2sin2x3，将横坐标伸长到原来的 2 倍，所得函数为 g(x)2sinx3，令 x3k(kZ)xk3(kZ)，则对称中心为k3，0，kZ，令 k0，则其中一个对称中心为3，0.故选 A.(2)函数 f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递增区间为_答案 512k，12k，kZ解析 由函数的图象可得 A 2，1
6、4T7123142，解得 2.再根据五点作图法可知 23，3，所以 f(x)2sin2x3.由22k2x322k(kZ)，可得512kx 12k(kZ)1解析式 yAsin(x)B 的确定方法(1)A，B 由最值确定，即 A最大值最小值2，B最大值最小值2.(2)由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为T2，对称轴与相邻对称中心之间的距离为T4.(3)由图象上的特殊点确定，利用五点作图的五个特殊点直接确定2三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看
7、yAsin(x)中 的正负和它的平移要求(3)看移动单位：在函数 yAsin(x)中，周期变换和相位变换都是沿 x 轴方向的，所以 和 之间有一定的关系，是初相，再经过 的压缩，最后移动的单位是.1(2019唐山市高三第二次模拟)已知函数 f(x)sin2x3(0)的最小正周期为，把 f(x)的图象向左平移3个单位后，所得函数图象的一条对称轴为()Ax0Bx 12Cx8Dx3答案 B解析 函数 f(x)sin2x3(0)的最小正周期为22，1，f(x)sin2x3.若将函数 f(x)的图象向左平移3个单位，可得 ysin2x23 3 sin2x3 的图象，令 2x3k2，kZ，求得 xk2 1
8、2，令 k0，可得所得函数图象的一条对称轴为 x 12.故选 B.2(2019丹东市高三总复习质量测试(一)设函数 f(x)sinx(0)，已知对于0，23 内的任意 x1，总存在0，23 内的 x2，使得 f(x1)f(x2)0，则 的()A最大值为 3B最小值为 3C最大值为94D最小值为94答案 D解析 因为要满足对任意的 x10，23，总存在 x20，23，使得 f(x1)f(x2)0，对于 f(x)sinx(0)，则在0，23 上的函数值有正值，即 f(x1)可以有正值，要存在 x2 使得 f(x1)f(x2)0，则 f(x2)需要有负值又 f(x1)可以取到最大值 1，要存在 f(
9、x2)，使得 f(x1)f(x2)0，则 f(x2)要可以取到最小值1，说明 f(x)在 x0 上取得第一个最小值的点应在23 的左侧或者恰好落在23 处，所以34T23，即342 23，解得 94.故选 D.考向 3三角函数的性质例 3(1)(2019天津九校高三联考)已知函数 f(x)sinx 3cosx(0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于2，若将函数 yf(x)的图象向左平移6个单位得到函数 yg(x)的图象，则 yg(x)是减函数的区间为()A.3，0B0，3C.4，2D4，3答案 D解析 f(x)sinx 3cosx2sinx3，因为图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于T
10、2 2，所以 T，2，所以 f(x)2sin2x3.所以 g(x)2sin2x6 3 2sin2x.由22k2x32 2k(kZ)，得4kx34 k，所以 yg(x)是减函数的区间为4k，34 k(kZ)分析选项只有 D 符合故选 D.(2)若将函数 ysin2x6 的图象向右平移 m(m0)个单位长度后所得的图象关于直线 x4对称，则 m 的最小值为()A.12B6C4D3答案 B解析 平移后所得的函数图象对应的解析式是 ysin2xm6，如果该函数的图象关于直线 x4对称，则 24m6 k2(kZ)，所以 mk2 6(kZ)，又 m0，故当 k0 时，m 最小，此时 m6.(3)已知函数
11、f(x)|sinx|cosx，则下列说法正确的是()Af(x)的图象关于直线 x2对称Bf(x)的周期为 C若|f(x1)|f(x2)|，则 x1x22k(kZ)Df(x)在区间4，34 上单调递减答案 D解析 因为 f(x)|sinx|cosx，所以函数 f(x)在区间0,2上的解析式为 f(x)12sin2x，0 x，12sin2x，0，A0.1已知函数 f(x)sin(x)(01，|0Bf(1016)f(1017)0Cf(1016)f(1017)0Df(1016)f(1017)0答案 A解 析 02.对 任 意 x R，f(1)f(x)f(6)，f(1)1，f(6)1，函数 f(x)在区
12、间1,6上单调递增，T2615，即 T10.f(1016)f(6)，f(1017)f(7)又函数 f(x)的图象关于直线 x6 对称，f(1017)f(7)f(5)函数 f(x)在区间1,6上单调递增，f(5)f(1017)，f(1016)f(1017)0.故选 A.2(2019宁夏银川高三下学期质检)将函数 f(x)sin2xcos2x 的图象向左平移8个单位得到 g(x)的图象，则 g(x)在下列哪个区间上单调递减()A.2，0B16，916C.0，2D2，答案 C解析 将函数 f(x)sin2xcos2x 2sin2x4 的图象向左平移8个单位得到g(x)2sin2x8 4 2sin2x
13、2 2cos2x，在区间2，0 上，则 2x，0，g(x)单调递增，故 A 不满足条件；在区间16，916 上，则 2x8，98，g(x)不单调，故 B 不满足条件；在区间0，2 上，则 2x0，g(x)单调递减，故 C满足条件；在区间2，上，则 2x，2，g(x)单调递增，故 D 不满足条件故选 C.3(2019新疆乌鲁木齐高三第二次质量检测)若关于 x 的方程(sinxcosx)2cos2xm 在区间0，)上有两个根 x1，x2，且|x1x2|4，则实数 m 的取值范围是()A0,2)B0,2C1，21D1，21)答案 B解析 关于 x 的方程(sinxcosx)2cos2xm 在区间0，
14、)上有两个根 x1，x2，方程即 sin2xcos2xm1，即 sin2x4 m12，sin2x4 m12 在区间0，)上有两个根 x1，x2，且|x1x2|4.x0，)，2x434，54 74，94 4，22 m12 22，求得 0m2.故选 B.真题押题真题模拟1(2019新乡市二模)已知 sin22cos2，那么 cos22sin()A1B2C1D2答案 A解析 因为 sin22cos20，所以 cos22cos30，解得 cos1或 cos3(舍去)，所以 sin0，所以 cos22sin1.故选 A.2(2019天津高考)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将
15、yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x)若 g(x)的最小正周期为 2，且 g4 2，则 f38()A2B 2C 2D2答案 C解析 因为 f(x)是奇函数(显然定义域为 R)，所以 f(0)Asin0，所以 sin0.又|0，|0，2；图象过3，0，cos23 0，根据题中图象可得 232m2(mZ)，即 2m6.因为|2，所以 6，所以 f(x)cos2x6，当 2k2x62k(kZ)时，函数单调递增，化简得 k512xk 12(kZ)故选 D.4(2019温州质检)函数 f(x)2xtanx 在2，2 上的图象大致为()答案 C解
16、析 因为函数 f(x)2xtanx 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除A，B，又当 x2时，y0)，已知 f(x)在0,2有且仅有5 个零点，下述四个结论：f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点；f(x)在(0,2)有且仅有 2 个极小值点；f(x)在0，10 单调递增；的取值范围是125，2910.其中所有正确结论的编号是()ABCD答案 D解析 已知 f(x)sinx5(0)在0,2有且仅有 5 个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在a，b)上，此时 f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点，但 f(x)在(0,2)可能有 2 或 3 个极小值点，所以正确，不正确；当 x0
17、,2时，x55，25，由 f(x)在0,2有且仅有 5 个零点可得 5256，得 的取值范围是125，2910，所以正确；当 x0，10 时，5x5105491000)个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小值是()A.12B4C38D512答案 D解析 f(x)sinxcosx 3cos2x 32 12sin2x 31cos2x2 32 12sin2x 32 cos2xsin2x3，函数 f(x)的图象向右平移 个单位可得ysin2x3 sin2x23，所得图象关于 y 轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在 y 轴处取得函数的最值，即 sin231，解得232k，kZ，所以 12k
18、2，kZ，且 0，令 k1，得 的最小值为512.故选 D.8已知函数 f(x)2sin(2x)(|)，若 f8 2，则 f(x)的一个单调递减区间是()A.8，38B8，98C.38，8D8，58答案 C解析 由 f8 2，得 f8 2sin28 2sin4 2，所以sin4 1.因为|，所以 4.由 2k22x42k2，kZ，解得 k38xk8，kZ.当 k0 时，38 x8.故选 C.配套作业一、选择题1已知 为锐角，且 sin45，则 cos()()A35B35C45D45答案 A解析 因为 为锐角，且 sin45，所以 cos35.所以 cos()cos35.2函数 f(x)tan2
19、x3 的单调递增区间是()A.k2 12，k2 512(kZ)B.k2 12，k2 512(kZ)C.k 12，k512(kZ)D.k6，k512(kZ)答案 B解析 当 k22x3k2(kZ)时，函数 ytan2x3 单调递增，解得k2 12 x0，故 0，2，故 cos 55，所以sin2cos22 55.4如果存在正整数 和实数 使得函数 f(x)sin2(x)的图象如图所示(图象经过点(1,0)，那么 的值为()A1B2C3D4答案 B解析 因为 f(x)sin2(x)1212cos2(x)，所以函数 f(x)的最小正周期 T22，由题图知T21，即43T0，故排除 C，故选 A.6
20、(2019 毛 坦 厂 中 学 高 三 校 区 联 考)已 知 函 数f(x)Asin(x)A0，0，|2 的图象与 y 轴交于点 M0，32，距离 y 轴最近的最大值点为N9，3，若 x1，x2(a，a)，且 x1x2，恒有 f(x1)f(x2)，则实数 a 的最大值为()A.3B6C9D29答案 C解析 由题意，得 A3,3sin32，|2，6，由五点作图法知962，解得 3，f(x)3sin3x6，令 2k23x62k2，kZ.解得2k3 29 x2k3 9，kZ.(a，a)29，9，00，|2 的图象过点(0，3)，则 f(x)的函数解析式为()Af(x)2sin2x3Bf(x)2si
21、n2x3Cf(x)2sin2x6Df(x)2sin2x6答案 B解析 由题意知，A2，函数 f(x)的图象过点(0，3)，所以 f(0)2sin 3，由|0)的图象向左平移 4个单位得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)的图象关于直线 x 对称且在区间(，)内单调递增，则 的值为()A.2B3 2C4D32答案 A解析 由题意得 g(x)sinx 4 sinx4，因为函数 g(x)的图象关于直线 x 对称且在区间(，)内单调递增，所以 242k(kZ)，22m24，2422m(mZ)，因此 k0，k22m，k2m，从而 022m，02m，即 0m14，所以 m0，k0，2，故选 A.10(
22、2019广元市高三第二次高考适应性统考)函数 f(x)sin2x 3(cos2xsin2x)的图象为 C，给出如下四个结论：f(x)的最小正周期为；对任意的 xR，都有 fx6 f6x 0；f(x)在 12，512 上是增函数；由 y2sin2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象 C.其中所有正确结论的编号是()ABCD答案 C解析 f(x)sin2x 3(cos2xsin2x)sin2x 3cos2x2sin2x3，f(x)的最小正周期为22，故正确；f6 2sin263 2sin00，即函数图象关于点6，0 对称，即对任意的 xR，都有 fx6 f6x 0 成立，故正确；若 x 12
23、，512，则 2x6，56，2x32，2，此时函数 f(x)为增函数，即f(x)在 12，512 上是增函数，故正确；由 y2sin2x 的图象向右平移3个单位长度得到 y2sin2x3 2sin2x23，故错误，故正确的是，故选 C.11将函数 f(x)2sin2x6 的图象向左平移 12个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到 g(x)的图象，若 g(x1)g(x2)9，且 x1，x22，2，则 2x1x2的最大值为()A.256B4912C356D174答案 B解析 由题意可得，g(x)2sin2x3 1，所以 g(x)max3，又 g(x1)g(x2)9，所以 g(x1)g(x2)
24、3，由 g(x)2sin2x3 13，得 2x322k(kZ)，即 x 12k(kZ)，因为 x1，x22，2，所以(2x1x2)max212 1224912，故选 B.二、填空题12(2019 南宁市高三模拟)已知sin3cos3cossin5，则 sin2sincos_.答案 25解析 由已知可得 sin3cos5(3cossin)，即 sin2cos，所以 tansincos2，从而 sin2sincossin2sincossin2cos2 tan2tantan21 22222125.13(2019云南省高中毕业生统一检测)已知函数 f(x)3sinxcosx 在m，m上是单调递增函数，
25、则 f(2m)的取值范围为_答案 1,2解析 函数 f(x)3sinxcosx2sinx6，由 2k2x62k2，kZ2k23 x2k3，kZ，故 f(x)在区间2k23，2k3(kZ)上单调递增，当 k0，f(x)在区间23，3 上是单调递增函数，则m，m23，3，m3，m23，0m3，m0f(2m)2sin2m6，而60且|2 在区间6，23 上是单调递减函数，且函数值从 1 减小到1，则 f4 _.答案 32解析 由题意可得，函数的周期为 223 6，即2，2，f(x)sin(2x)由 sin26 1，|0，0，|2 的部分图象如图所示，将函数 yf(x)的图象向左平移43 个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，则 g()_，函数 yg(x)在区间2，52 上的最大值为_答案 0 3 22解析 由题图可知函数 yf(x)的周期为 4，12.又点3，0，0，32 在函数 yf(x)的图象上，Asin6 0，Asin32，且|2，6，A3，则 f(x)3sinx26.g(x)3sin12x43 6 3cosx2，g()0.由 x2，52，可得x24，54，则 3cosx23，3 22，即 g(x)的最大值为3 22.