1、榆林市2021届高考模拟第一次测试理科数学本试卷共23题，共150分.一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z为纯虚数，且，则（ ）A. B. C. D. 2D分析：根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数为纯虚数，即可求解.解答：由题意，复数，因为复数为纯虚数，所以，解得.故选：D.2. 集合，若，则（ ）A. B. C. D. D分析：因为，求得，则，得到集合，结合集合并集的概念及运算，即可求解.解答：由题意，集合，因为，所以，解得，则 所以集合，所以.故选：D.3. 如图，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴
2、重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则（ ）A. B. C. D. A分析：利用任意角的三角函数定义写出两点的坐标，再求向量数量积即可解答：由图可知，所以，故选：A.4. 下列四个函数：；，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4C分析：根据基本初等函数的性质，逐个判断函数的定义域和值域，即可得出结果.解答：函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；幂函数的定义域为，值域也为，即定义域和值域相同；故选：C.5. 在中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C.
3、D. A分析：分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.解答：根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.点拨：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的数术记遗，
4、其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，算盘表示的数为质数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（ ）A. B. C. D. A分析：求得算盘所表示的所有数，并找出对应的质数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.解答：由题意可知，算盘所表示的数可能有：、，其中是质数的有：、，故所求事件
5、的概率为.故选：A.点拨：本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.7. 已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，C分析：在A中，a与b可以成任意角；在B中a与b是平行的；在C中，可得，从而得到；在D中，可得a与b可以成任意角，从而得到正确结果.解答：由a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，在A中，因为的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误；在B中，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误；在C中，由，可知，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，可得a与b可以成任意角，故D错误故选：C.点拨：该题考查
6、线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目8. 若，则（ ）A. 图像关于直线对称B. 图像关于对称C. 最小正周期为D. 在上单调递增B分析：分别取特值可判断ACD不正确，由可判断B正确.解答：对于A，由于，所以图像不关于直线对称，A错误；对于B，由于，所以图像关于对称，正确；对于C，所以不是函数的周期；对于D，所以在上不是单调递增.故选：B.9. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，的面积为，则（ ）A. B. C. D. A分析：由面积公式可得，由余弦定理可得：得，再由正弦定理可得答案解答：，所
7、以，由余弦定理可得： 得又由正弦定理可得：，所以，故选：A.10. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 3C分析：利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立的等量关系式求解.解答：解析：取的中点D，连结，设，则，因为所以从而，故选：C.点拨：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的
8、方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)11. 设，随机变量的分布01Pab则当a在内增大时，（ ）A. 增大，增大B. 增大，减小C. 减小，增大D. 减小，减小D分析：求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断.解答：解：由因为分布列中概率之和为1，可得，当增大时，减小，又由可知当在内增大时，减小.故选：D.12. 已知定义在R上的偶函数满足，且在上递减.若，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. A分析：由是偶函数得，得以2为周期的周期函数，在上递减，所以在递增，然后对做化简可进行判断比较.解答：因为定义在R上的偶函数，所以，因为，所以，即，所以是以2为周期
9、的周期函数，又在上递减，所以在递增，因为，在上递增，所以，即，故选：A.点拨：本题考查了函数的基本性质，对于抽象函数，要灵活掌握并运用图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，要注意定义域，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若二项式的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为_.15分析：首先根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项；解答：解：因为二项式的展开式中二项式系数的和为64，所以，所以，二项式的展开式中常数项为.故答
10、案为：14. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若，则(O为坐标原点)的面积为_.分析：可由焦半径公式求出点坐标，求出直线方程后，联立抛物线方程可求得点坐标.再将三角形面积拆成两个三角形求解即可.解答：由题意知，不妨设在第一象限，设，联立方程，整理可得，解得，.故答案为：15. 已知一个棱长为1正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体(包括底面)的表面积为_.分析：根据正方体和半球的关系，作出对应的轴截面，根据对应关系求得求得半径，结合面积公式，即可求解.解答：作出半球和正方体的轴截面，如图所示，设求得的半径为，因为正
11、方体的棱长为1，所以正方体的对角线长，在直角中，半球的表面积为.故答案：.16. 若，则下面不等式正确的是_.；.分析：对，构造，利用的单调性，即可判断与的大小；对，构造，利用的单调性，即可判断与的大小；对，,构造，利用的单调性，即可判断与的大小；对，构造，利用的单调性，即可判断与的大小；对，构造，利用的单调性，即可判断与的大小.详解】解：对，令，则，当的正负不确定，故与的大小不确定，故错误；对，令，则 ，当，在上单调递增，又，即，即：，故正确；对，,令，则，当，在上单调递增，又，即：，故错误；对，令，则，当，在上单调递增，又，即：，故正确；对，,令，则，当的符号不能确定，与的大小不能确定，即
12、与的大小不能确定，故错误；故答案为：.点拨：关键点点睛：本题解题的关键是构造对应的函数，利用函数的单调性比较大小.三解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知数列是等差数列，是数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.（1）；（2）.分析：（1）根据等差数列的性质知，即可求得，结合条件可求得公差，进而可求得；（2）根据条件及求得，根据裂项相消法求和.解答：解析：（1）因为，所以，而，设数列的公差为，则，；（2），.点拨：关键点点睛：本题的关键是等差
13、数列中基本量的计算问题，另外求数列的前项和的求解时利用裂项相消的方法.18. 为了推进分级诊疗，实现“基层首诊双向转诊急慢分治上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈
14、述理由.（1）万；（2）应着重提高30-50这个年龄段的签约率，理由见解析.分析：（1）根据题中频率分布直方图与各年龄段被访者的签约率，分别计算50岁以上各年龄段的居民人数，再求和，即可得出结果；（2）根据题中条件，先确定年龄在18-30岁的人数，年龄在30-50岁的人数，以及年龄在50岁以上的人数，即可确定结果.解答：（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：万；在60-70岁的签约人数为：万；在70-80岁的签约人数为：万；在80岁以上的签约人数为：万；故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万；（2）年龄在10-20岁的人数为：万；年龄在20-30岁的人数为：万.所以，年
15、龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%；年龄在30-50岁的人数为万，签约率为37.1%.年龄在50岁以上的人数为：万，签约率超过55%，上升空间不大.故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30-50这个年龄段的签约率.19. 如图，在正四面体中，点E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，.（1）求证：直线必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明见解析；（2）.分析：（1）和为梯形的两腰，从而和必交
16、于一点，设交点为，平面，同理：平面，由此能证明，和三线交于点（2）取的中点O，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；解答：解：（1）因为，所以且，故E，F，G，H四点共面，且直线必相交于一点，设，因为平面，所以平面，同理：平面，而平面平面，故平面，即直线必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）取的中点O，则，所以平面，不妨设，则，所以，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，由可得：，令，则，则，故直线与平面所成角的正弦值为.点拨：本题考查了立体几何中的线线关系的证明和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与
17、直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）为坐标原点，若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与椭圆的焦点为圆心，以为半径的圆交于，两点，求证：为定值.（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）证明见解析.分析：（1）由题意，解方程组求得，的值，即可求解；（2）设，则，写出圆和圆的方程，两个圆的方程相减可得直线的方程，计算点到直线的距离为，再利用计算弦长即可.解答：（1）
18、椭圆可得焦点，抛物线的焦点为 ，所以，由可得，解得，所以，由可得：，所以椭圆的方程为：，抛物线C的方程为：；（2）设，则，圆的方程为：，圆的方程为：，所以直线的方程为：，设点到直线的距离为，则.所以为定值.点拨：方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数法，设直线与圆相交于，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，根据弦长公式，即可得出结果.21. 已知函数.（1）设，求的单调区间；（2）求证：存在恰有2个切点曲线的切线.（1）单调减区间为和和，单调减区间为和；（2）证明见解析.分析：（1）对函数求导，解对应的不等式，即可求出
19、单调区间；（2）对函数求导，假设存在直线以，为切点，不妨设，则，根据导数的几何意义，求出两切点处的切线方程，根据切线是同一直线，得出，令，导数的方法求出函数的零点，即可证明结论成立.解答：（1）因为，当时，则时，单调递增；时，单调递减；当时，由可得，解得，即，所以或时，单调递减；时，单调递增；所以的单调减区间为和和，单调减区间为和；（2），假设存在直线以，为切点，不妨设，则，以为切点的切线方程为：，以为切点的切线方程为：，所以，令，则，令，则在上递增，所以，因此在上递减，故存在唯一的t满足，即存在恰有2个切点的曲线的切线.点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于先假设存在直线以以，为切点，利
20、用导数的几何意义，得出切线方程，换元得到新的方程，导数的方法判定该方程有实根，即可求解.22. 在直角坐标系中，直线l过点，倾斜角为.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为中点，且满足成等比数列，求直线l的斜率.（1）l的参数方程为(t为参数)，C的直角坐标方程为：；（2）斜率为.分析：（1）根据直线过点P，及倾斜角，代入公式，即可求得l的参数方程，将曲线C左右同乘，利用即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得关于t的一元二次方
21、程，根据t的几何意义及题干条件，可得，即可求得答案.解答：（1）因为直线l过点，倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)，因为，所以，所以曲线C的直角坐标方程为：；（2）将直线l的参数方程为(t为参数)代入可得：，设A,B所对应的参数为，所以，因为成等比数列，所以，即，解得，故直线l的斜率为.点拨：解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题.23. 已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.（1）最小值为；（2）.分析：（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案；（2）先得到的取值范围，判断各项的正负，去掉绝对值，转化为在时恒成立，得到，从而得到的取值范围.解答：（1）当时，由解析式可知，在和上单调递减，且在处连续，在上单调递增，故在处取得最小值，且，所以的最小值为.（2），又，.即在上恒成立，令在上单调递减，解得：，综上，的取值范围为.点拨：方法点睛：本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；数形结合( 图像在 上方即可)；讨论最值或恒成立.
