1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 五十六双曲线30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019浙江高考)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()A.B.1C.D.2【解析】选C.由双曲线的渐近线方程可知a=b,所以e=.2.(2019北京高考)已知双曲线-y2=1(a0)的离心率是,则a=()A.B.4C.2D.【解析】选D.由已知,b2=1,e=,所以c2=5a2,又c2=a2+b2=a2+1,所以a2=,a=.3.(2020丽水模拟)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的
2、离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选C.因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e=,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.4.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)【解析】选A.由题意得(m2+n)(3m2-n)0,解得-m2n3m2,又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2+n+3m2-n=4,即m2=1,所以-1n0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂
3、线与双曲线交于B,C两点,若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.B.C.1D.【解析】选C.双曲线-=1的右焦点F(c,0),左、右顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),不妨设B, C,则=,=,又A1B与A2C垂直,则有=-1,即=-1,所以=1,所以a2=b2,即a=b,所以渐近线的斜率k=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017北京高考)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=_.【解析】c=,因为双曲线的离心率为,所以=,解得m=2.答案:27.(2020内江模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=
4、1的左支上,则=_.【解析】由条件知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12.又在ABC中,有=2R(R为ABC外接圆的半径),从而=.答案:8.若双曲线-=1(a0,b0)的渐近线与圆(x-)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是_.【解析】双曲线的渐近线bxay=0与圆(x-)2+y2=2相交,则圆心到渐近线的距离小于半径,即,整理可得:b22a2,所以c23a2,则双曲线的离心率e=1,据此可得此双曲线的离心率的取值范围是(1,).答案:(1,)三、解答题(每小题10分,共20分)9.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半
5、轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程.(2)若P为这两曲线的一个交点,求cosF1PF2的值.【解析】(1)由题意知c=,设椭圆方程为+=1(ab0),双曲线方程为-=1(m0,n0),则解得a=7,m=3.则b=6,n=2.故椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cosF1PF2=.10.过双曲线-=1的右焦点F2,倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F
6、1为左焦点.(1)求|AB|.(2)求AOB的面积.【解析】(1)由双曲线方程得a=,b=,又因为c2=a2+b2,所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=(x-3),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0,所以x1+x2=-,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=.(2)直线AB的方程变形为x-3y-3=0,所以原点O到直线AB的距离为d=,所以SAOB=|AB|d=.20分钟40分1.(5分)(2020遵义模拟)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D
7、.【解析】选A.依题意,双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为bx-ay=0.因为直线bx-ay=0被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,所以=,所以3a2+3b2=4b2,所以3a2=b2,所以e=2.2.(5分)椭圆C:+=1与双曲线E:-=1(a,b0)有相同的焦点,且两曲线的离心率互为倒数,则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选D.椭圆C:+=1的焦点坐标为(1,0),离心率为.所以双曲线E:-=1(a,b0)的焦点为(1,0),c=1,双曲线的离心率为椭圆的倒数,所以双曲线的离心率e=2.故a=,则b=,双曲线渐近线为y=x,设渐近线的倾斜角,
8、则tan =,所以=60或120,所以sin =.3.(5分)(2017全国卷)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为_.【解析】如图,作APMN,=a,=b,因为MAN=60,所以=b,=,所以tan =,又因为tan =,所以=,解得a2=3b2,e=.答案:4.(5分)(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_.【解析】设A(x1,
9、y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,所以|AF|+|BF|=y1+y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p,可得y1+y2=p,联立方程,得-+1=0,由根与系数的关系得y1+y2=p,所以p=p,则=,=,所以双曲线的渐近线方程为y=x.答案:y=x5.(10分)(2020曲靖模拟)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程;(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=,求AOB的面积.【解析】(1)依题意得解得故双曲线的方程为-x2
10、=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m0,n0,由=得点P的坐标为.将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1.设AOB=2,因为tan=2,则tan =,从而sin 2=.又|OA|=m,|OB|=n,所以SAOB=|OA|OB|sin 2=2mn=2.6.(10分)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x
11、2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得k的取值范围是-2k-.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FAFB得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.把式及c=代入式化简得5k2+2k-6=0.解得k=-或k=(-2,-)(舍去),可知存在k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.关闭Word文档返回原板块
