1、31.4空间向量的正交分解及其坐标表示内容标准学科素养1.掌握空间向量基本定理，会用空间向量基本定理解决问题2.了解空间向量正交分解的含义3.理解空间向量坐标的含义，能用坐标表示空间向量.应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第60页基础认识知识点一空间向量基本定理我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理)对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？如图，设i，j，k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O.对于空间任意一个向量p，设点Q为点P在i，j所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，k所确定的平面上，存在实数z
2、，使得zk.在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得xiyj.从而zkxiyjzk.由此可知，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组x，y，z，使得pxiyjzk.在空间中，如果用任意三个不共面向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，可以得出类似的结论 知识梳理空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示知识梳理(1)单位正交基底三个有
3、公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p.由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z)自我检测1已知a，b，c是空间向量的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()AaBbCa2b Da2c答案：D2在长
4、方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则等于()Aijk B.ijkC3i2j5k D3i2j5k答案：C3若a3e12e2e3，且e1，e2，e3为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为_答案：(3,2，1)授课提示：对应学生用书第61页探究一对基底与基向量的理解教材P94练习1已知向量a，b，c是空间的一个基底，从a，b，c中选哪一个向量，一定可以与向量pab，qab构成空间的另一个基底？解析：向量c一定可以与p，q一起构成空间的另一个基底pab，qab与a，b共面，只有c不与p，q共面例1判断下列说法是否正确？并说明理由(1)空间任意三个不共线的向量均可作为一组基底；(2)基
5、向量中可以含有零向量，但至多一个；(3)如果向量a，b与空间任何向量都不能构成一组基底，那么向量a，b一定是共线向量；(4)如果向量组a，b，c是空间的一个基底，且mac，那么a，b，m也是空间的一组基底解析(1)错误，因为空间中三个不共面的向量才能构成一组基底(2)错误，基向量中一定不可以含有零向量(3)正确，向量a，b与空间任何向量都不能构成一组基底，说明向量a，b与空间任何向量都是共面向量，从而a，b一定是共线向量(4)正确，因为若a，b，m共面，则存在唯一实数对(x，y)，使得mxayb，即acxayb，所以(x1)aybc0，而a，b，c不共面，所以x1y10，这显然不成立，故a，b
6、，m不共面，即a，b，m也是空间的一组基底方法技巧1.对于基底a，b，c，(1)a，b，c一定不共面；(2)a，b，c中一定没有零向量2判断a，b，c可否作为空间的一个基底，即判断a，b，c是否共面，若不共面则可以作为基底，否则不能作为基底，实际判断时，假设abc，运用空间向量基本定理建立，的方程组，若有解则共面，否则不共面跟踪探究1.已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底解析：假设，共面，则存在实数，使得，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3.e1，e2，e3不共面，此方
7、程组无解，不共面，故，能作为空间的一个基底探究二用基底表示空间向量阅读教材P94例4如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点用向量，表示和.题型：用基底表示空间向量方法步骤：(1)利用向量加法的三角形法则；.(2)由M，N，P，Q的位置，根据向量的数乘运算得出；.例2如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.解析连接BO，则()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.方法技巧1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的2用基底
8、表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示3在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底跟踪探究2.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2).解析：如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中连接AC，AD1，(1)()()(abc)(2)()(2)abc.探究三
9、空间向量的坐标表示教材P97练习2 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学进行交流解析：以OA，OC，OO为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，O(0,0,2)，A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)例3在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，AO4，BO2，AA14，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标解析由题意OAOB，OO1OA，OO1OB，所以以OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
10、，如图则O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(0,2,4)，D(2,1,4)，(2，1，4)，(4,2，4)方法技巧1.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上2求空间向量坐标的一般步骤：(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；(2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出
11、来确定坐标跟踪探究3.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1，建立适当坐标系，求向量的坐标解析：以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则M，N.授课提示：对应学生用书第62页课后小结(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示(2)向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算素养培优1用错线段的关系式致误已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，点N为BC的中点，设a，b，c，则用基底a，b，c表示为_易错分析
12、由OM2MA，误以为M为线段OA的中点，得，导致本题错误考查直观想象、逻辑推理的学科素养自我纠正N为BC的中点，()又OM2MA，则，()bca.答案：bca2建立空间直角坐标系不当致误如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，则，的坐标分别为_，_.易错分析解答本题时，容易以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建错空间直角坐标系，这里忽视了向量所在直线的垂直性而致误考查直观想象的学科素养自我纠正分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)则A，B1，C1，于是，.答案：