1、94分期付款问题中的有关计算读教材填要点1单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息本金利率存期若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有SP(1nr)2复利把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有复利的计算公式为SP(1r)n.小问题大思维1单利和复利分别对应什么函数类型？提示单利对应一次函数模型，复利对应指数函数模型2单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？提示单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质
2、是等差数列，复利的实质是等比数列等差数列模型(单利问题) 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，按单利计算如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列an，则a12(255)10%4(万元)；a22(2552)10%3.8(万元)；a32(25522)10%3.6(万元)；an2255(n1)210%(万元)(n1,2，10)因而数列an是首项为4，公差为的等差数列a543.2(万
3、元)S1010431(万元)31536(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：(1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式1某人从1月起，每月第一天存入100元，到第12个月最后一天取出全部本金及利息，按照单利计息，若月利率为1.65，求到年底的本利和解：第1月存入的100元到12月底的利息为a11000.001 6512，第2月存入的100元到12月底的利息为a21000.001 6511
4、，第12月存入的100元到12月底的利息为a121000.001 65，全部利息和为S12a1a2a121000.001 65(1212)0.1657812.87(元)，按单利计息，到年底所取出的本利和为1 212.87元.等比数列模型(复利问题) 某人购买价值为10 000元的彩电，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第24次付款后全部付清，已知月利率为0.8%，如果每月利息按复利计算。那么每期应付款多少元(精确到1元)？(1.008241.210 7)解设每期付款为x元，第1期付款x元连同到最后全部付清时所生利息之和为：x(10.008)
5、23，第2期付款x元连同到最后全部付清所产生的利息之和为：x(10.008)22，第24期付款x元，没有利息于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：Axx(10.008)x(10.008)2x(10.008)23，另一方面，这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和：B104(10.008)24，x(11.0081.00821.00823)1041.00824，即x1041.00824，x460.按复利计算分期付款问题的一般计算公式：商品为a元，在m个月内分n次付清(n是m的约数)，月利率为p，每期付款x元，则x1(1p)(1p)(1p)a(1p)m，x.2某同学若将每月
6、省下的零花钱5元在月末存入银行，月息按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本利共多少元(保留到个位)？(1.0621.123 6，1.0631.191 0，1.002121.024 3)解：为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算第一年内的本息和可分为：第一个月：5(10.2%)11，第二个月：5(10.2%)10，第十二个月：5.那么，第一年的本息和为5(10.2%)115(10.2%)1055.于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为5(16%)2.同理第二年所存钱在最后取时本息和为5(16%)第三年所存钱在年底取出时的
7、本息和为5.每月存5元，月利为0.2%，年利为6%，三年后取出的本息和为5(16%)25(16%)55193(元)三年后取出的本利共193元随堂体验落实1按活期存入银行1 000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是()A1 036元B1 028元C1 043元D1 026元解析：选A第五年末的本利和是1 0001 0000.72%51 000361 036(元)2某厂在2018年底制订生产计划，要使2028年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为()A41B2C41D21解析：选A设年增长率为x,2018年总产量为1，到2028年底翻两番后的总产量为4，故得1(1x
8、)104，x41.3某企业今年初贷款a万元，年利率为r，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5年内还清，则每年应偿还的金额数为()A.万元B万元C.万元D.万元解析：选B设每年还x元，则a(1r)5x(1r)4x(1r)3x(1r)2x(1r)x0，x.4某工厂第一个月的生产总值为a，月生产总值平均增长率为p，则年平均生产总值的平均增长率为_解析：(1p)12.答案：(1p)1215某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为1个月，购买后1个月第1次付款，每月付款1次，共付12次，购买后1年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少(1.008121.1
9、)?解：设每期应付款x元，则到款数还清时，第1期所付款数连同利息之和为x(10.008)11，第2期所付款数连同利息之和为x(10.008)10，第12期所付款数没有利息所以各期所付款数连同利息之和为x(10.008)11x(10.008)10xx.又所购电器的现价及其利息之和为2 0001.00812，于是有x2 0001.00812，解得x176.即每期应付款176元感悟高手解题某职工2018年年初向银行贷款20万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，若这笔贷款要求分10次等额还清，每年一次，10年还清，并从贷款后次年
10、年初开始归还，问每年应还多少元(精确到1元)？(1.1102.593 7)解已知贷款额为a200 000，贷款年利率为r0.1，设次年等额归还b元，第n10年还清，则一年后的欠款数为a1(1r)ab1.1200 000b，二年后的欠款数为a2(1r)a1b(1r)(1r)abb(1r)2ab(1r)b，三年后的欠款数为a3(1r)a2b(1r)(1r)2ab(1r)bb(1r)3ab(1r)2b(1r)b，n年后的欠款数为an(1r)an1b(1r)nab(1r)n1(1r)n2(1r)1由于an0，贷款还清，故可求出b.对上式化简得(1r)nab(1r)n1(1r)n2(1r)10，即(1r
11、)nab(1r)n1(1r)n2(1r)1bb.b，0.132 549(元)答：每年应还32 549元点评复利问题的数学模型为等比数列，可利用等比数列的有关知识灵活求解一、选择题1现存入银行10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照复利，第5年末的本利和是()A10 0001.00723B10 0001.00724C10 0001.00725D10 0001.00726解析：选C记各年末的本利和为数列an，由ana(1r)n，其中，a10 000，r0.72%，得a510 0001.007 25.2某钢厂的年产值由2007年的40万吨，增加到2017年的50万吨，经历了10年的时间，如果按
12、此年增长率计算，该钢厂2027年的年产值将接近()A60万吨B61万吨C63万吨D64万吨解析：选C设年增长率为x，则2017年为：40(1x)1050，则(1x)10.2027年为：40(1x)2040(1x)1024062.563(万吨)3某商品零售价2018年比2017年上涨25%，欲控制2019年比2017年上涨10%，则2019年比2018年降价()A15%B12%C10%D5%解析：选B设2017年商品零售价为a(a0)，2019年比2018年下降x%，则a(1x%)(125%)a(110%)，即x%12%.4某企业2017年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2017年度
13、的产值月平均的增长率为()A.BC.D.1解析：选D设2017年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1r)11pa，r1.二、填空题5有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是_解析：设最上面一层为a1，则组成了以a1为首项，公比q2的等比数列，则有S7381.得a13，则a7a1q6192，a7192.答案：1926某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为_解析：设平均每次降价百分率为x，则512(1x)3216，x0.25.答案：25%7某人从2017年起，每年9月
14、1日到银行新存a元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款均自动转成新一年的定期，到2022年9月1日将所有的存款及利息全部取回，他取回的钱数是_元(假设不扣利息税)解析：本利和为a(1r)a(1r)2a(1r)3a(1r)4a(1r)5(1r)6(1r)答案：(1r)6(1r)8某地2017年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市的人口平均增长率为1%，问使2027年底该城市人均住房面积增加到至少7 m2，则平均每年新增住房面积至少为_万m2(保留到整数)解析：设该城市平均每年新增住房面积为x万m2，依题意7，化简得x350(11%)103003501.104 630086
15、.6.该城市平均每年至少新增87万m2.答案：87三、解答题9陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？(不满百元凑足百元，lg 1.010.004 3，lg 1.0610.025 8，lg 1.070.029 4)解：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还货a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012
16、a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.又因为lg(1.01)66lg 1.010.025 8，所以1.0161.061，a1 800.答：每月应支付1 800元10现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.1102.594,1.31013.79)解：甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为130%的等比数列，其和为1(130%)(130%)2(130%)942.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(10.1)10102.59425.94(万元)，甲方案扣除贷款本息后，净获利约为426325.9416.7(万元)乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，11.5(190.5)32.50(万元)，而贷款本利和为111(110%)(110%)91.117.53(万元)乙方案扣除贷款本息后，净获利约为325017.5315.0(万元)比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利.