1、核心素养测评四十四空间图形的基本关系与公理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在下列命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A.选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.2.已知直线a,b分别在两个不同的平面,内,则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不
2、必要条件【解析】选A.若直线a和直线b相交,设交点为P,因为a,所以P,因为b,所以P,所以P是平面,的公共点,所以平面,相交.若平面,相交,而直线a和直线b可能相交,可能异面,如图.所以“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件.3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EFAB,则EF与CD所成的角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH,在EFH中,EFH=90,HE=2HF,从而FEH=30,即EF与CD所成角为30.4.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三
3、点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线【解析】选B.如图所示,A,C,D均不正确,只有B正确.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行【解析】选D.连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是B1CD1的中位线,所以MNB1D1,因为CC1B1D1,ACB1D1,BDB1D1,所以MNCC1,MNAC,MNBD.又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行.6.如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个说法:AFG
4、C;BD与GC成异面直线且夹角为60;BDMN;BG与平面ABCD所成的角为45.其中正确的个数是世纪金榜导学号()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.将平面展开图还原成正方体(如图所示).对于,由图形知AF与GC异面垂直,故正确;对于,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,则BMGC,所以MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边BDM中,MBD=60,所以异面直线BD与GC所成的角为60,故正确;对于,BD与MN为异面垂直,故错误;对于,由题意得GD平面ABCD,所以GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在RtBDG中,GBD不等于45,故错误.二、填空题(每小题5分,
5、共20分)7.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,AOC=120,A1O1B1=60,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与AA1所成的角的大小是.【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B,连接BB1,则BB1AA1,所以BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角),|BB1|=|AA1|=1,连接BC,BO,AOB=A1O1B1=,AOC=,所以BOC=,所以BOC为正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tanBB1C=1,所以直线B1C与AA1所成角的大小为45.答案:458.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分
6、成部分.【解析】沿三条交线为投射线,把三个平面分成的空间投射到一个平面内,如图,所以这三个平面把空间分成7部分.答案:79.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.【解析】如图,取CN的中点K,连接MK,则MK为CDN的中位线,所以MKDN.所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体的棱长为4,则A1K=,MK=DN=,A1M=6,所以A1M2+MK2=A1K2,所以A1MK=90.答案:9010.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则a
7、c;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线;若a,b与c成等角,则ab.上述命题中正确的命题是(只填序号).世纪金榜导学号【解析】由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故不正确;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故不正确.答案:(15分钟35分)1.(5分)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,)B.(0,
8、)C.(1,)D.(1,)【解析】选A.如图所示的四面体ABCD中,设AB=a,则由题意可得CD=,其他棱的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形,显然a0.取CD中点E,连接AE,BE,则AECD,BECD且AE=BE=,显然A,B,E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得2a,解得0a.2.(5分)如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为()A.ACBDB.AC截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45【解析】选C.截面PQMN是正方形,可得QMPQ且PQMN,所以PQ平面DAC,又PQ平面B
9、AC且平面DAC与平面BAC的交线为AC,所以PQAC,同理QMBD,可得ACBD,故A正确;由PQAC,可得AC截面PQMN,故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角为45,故D正确,C是错误的.【变式备选】 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.以上四个结论中,正确结论的序号是.【解析】还原成正四面体A-DEF,其中H与N重合,A,B,C三点重合.易知GH与EF异面,BD与MN异面.连接GM,因为GMH为等边三角形,所以GH与MN成60角,易
10、证DEAF,又MNAF,所以MNDE.因此正确结论的序号是.答案:3.(5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选A.方法一:因为平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,所以mB1D1.因为平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,所以nCD1.所以B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.因为B1
11、D1C为正三角形,所以B1D1C=60,所以m,n所成的角的正弦值为.方法二:由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为.4.(10分)已知:空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证:世纪金榜导学号(1)E,F,G,H四点共面.(2)三直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接EF,G
12、H,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD.又因为CG=BC,CH=DC,所以GHBD,所以EFGH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FHAC=M,所以M平面EFHG,M平面ABC.又因为平面EFHG平面ABC=EG,所以MEG,所以三直线FH,EG,AC共点.5.(10分)如图所示,等腰直角三角形ABC中,A=90,BC=,DAAC,DAAB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.世纪金榜导学号【解析】如图所示,取AC的中点F,连接EF,BF,在ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,所以EFCD,所以BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在RtEAB中,AB=AC=1,AE=AD=,所以BE=.在RtEAF中,AF=AC=,AE=,所以EF=.在RtBAF中,AB=1,AF=,所以BF=.在等腰三角形EBF中,cosFEB=.所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
