1、第21讲竖直平面内(斜面内)的圆周运动1竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较轻绳模型轻杆模型情景图示最高点受力特征除重力外，物体可能受到向下或等于零的弹力除重力外，物体可能受到向下、等于零或向上的弹力受力示意图力学方程mgFTmmgFNm临界特征FT0，即mgm，即vminv0时F向0，即FNmgv的意义物体能否过最高点的临界点FN表现为拉力还是支持力的临界点2解题技巧(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v及杆模型中v0这两个临界条件。(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。(4
2、)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合F向。(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。模型1绳球模型例1 如图所示，一质量为m0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求：(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？解析(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mgF1m由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦
3、即F10联立得v，代入数值得v2 m/s所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。(2)对小球，由牛顿第二定律得mgF2m，将v24 m/s代入得，F215 N。(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得F3mgm又F345 N联立得v34 m/s，所以小球的速度不能超过4 m/s。答案(1)2 m/s(2)15 N(3)4 m/s模型2杆球模型例2 (2018儋州市四校联考)如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法
4、正确的是()A小球通过最高点时速度可能小于B小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零C小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大D小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小解析小球在最高点时，杆对球可以表现为支持力，由牛顿第二定律得：mgFm，则得v时，小球一定能通过最高点PD当v0时小球一定能通过最高点P，C正确；当v0时，由mvmgh得小球能上升的高度hl，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0Mg，摩擦力方向向左B小滑块在B点时，FNMg，摩擦力方向向右C小滑块在C点时，FN(Mm)g，M与地面无摩擦D小滑块在D点时，FN(Mm)g，摩擦力方向向左答案B解析因
5、为轨道光滑，所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。小滑块在A点时，与轨道没有水平方向的作用力，所以轨道没有运动趋势，即摩擦力为零；当小滑块的速度v时，对轨道A点的压力为零，物体对地面的压力FNMg，当小滑块的速度v时，对轨道A点的压力向上，物体对地面的压力FN(Mm)g，故C错误；小滑块在D点时，类似于B点的分析，地面给物体向左的摩擦力，物体对地面的压力FNMg，故D错误。4. 如图所示，竖直环A的半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动
6、，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环之间的摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足()A最小值 B最大值C最小值 D最大值答案D解析要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mgm，对小球从最低点运动到最高点的过程应用机械能守恒定律得mvmg2rmv，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为，A、C错误；为了不使环在竖直方向上跳起，则在最高点球有最大速度时，对环的压力为2mg，满足3mgm，从最低点到最高点由机械能守恒定律得mvmg2rmv，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为，B错误，D正确。5(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平
7、面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其Fv2图象如图乙所示。则()A小球的质量为B当地的重力加速度大小为Cv2c时，小球对杆的弹力方向向下Dv22b时，小球受到的弹力与重力大小相等答案AD解析由题图乙可知：当v2b时，杆对球的弹力恰好为零，此时只受重力，重力提供向心力，mgmm，即重力加速度 g，故B错误；当v20时，向心力为零，杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向，F弹mga，即小球的质量m，故A正确；根据圆周运动的规律，当v2b时杆对球的弹力为零，当v2b时，mgF弹m，杆对球的弹力方向向下，v2cb，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆
8、的弹力方向向上，故C错误；当v22b时，mgF弹mm，又g，F弹mmgmg，故D正确。真题模拟练6. (2015天津高考)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示，当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是()A旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小答案B解析旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周
9、运动的向心力，即mgm2r，解得 ，要使g不变，旋转舱的半径越大，角速度应越小，而且与宇航员的质量无关，B正确。7. (2017江苏高考)如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是()A物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2FB小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2FC物块上升的最大高度为D速度v不能超过 答案D解析由题意知，F
10、为夹子与物块间的最大静摩擦力，但在实际运动过程中，夹子与物块间的静摩擦力没有达到最大，故物块向右匀速运动时，绳中的张力等于Mg，A错误；小环碰到钉子时，物块做圆周运动，FTMgM，绳中的张力大于物块的重力Mg，当绳中的张力大于2F时，物块将从夹子中滑出，即2FMgM，此时速度v ，故B错误，D正确；由机械能守恒定律知，物块能上升的最大高度h，所以C错误。8. (2016全国卷)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点()AP球的速度一定大于Q球的速度BP球的动
11、能一定小于Q球的动能CP球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力DP球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度答案C解析设小球的质量为m，绳长为L，根据动能定理得mgLmv2，解得v，LPLQ，所以vPmQ，LPmQ，所以P球所受绳的拉力大于Q球所受绳的拉力，故C项正确；向心加速度a2g，所以在轨迹的最低点，P、Q两球的向心加速度相同，故D项错误。9. (2018咸阳一模)固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道的最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，如图所示。今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆弧轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能使球通过
12、最高点D，则小球通过D点后()A一定会落到水平面AE上B一定会再次落到圆弧轨道上C可能会再次落到圆弧轨道上D不能确定答案A解析设小球恰好能够通过最高点D，根据mgm，得：vD，知在最高点的最小速度为。小球经过D点后做平抛运动，根据Rgt2得：t。则平抛运动的水平位移为：xR，知小球一定落在水平面AE上。故A正确，B、C、D错误。10. (2018绵阳诊断)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时()A球B的速度为零B球
13、A的速度大小为C水平转轴对杆的作用力为1.5mgD水平转轴对杆的作用力为2.5mg答案C解析球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mgm，解得vB，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受重力和拉力的合力提供向心力，有Fmgm，解得：F1.5mg，由牛顿第三定律知，C正确，D错误。11. (2018沈阳模拟)用光滑圆管制成如图所示的轨道，竖直立于水平地面上，其中ABC为圆轨道的一部分，CD为倾斜直轨道，二者相切于C点，已知圆轨道的半径R1 m，倾斜轨道CD与水平地面的夹角为37，现将一小球以一定的初
14、速度从A点射入圆管，小球直径略小于圆管的直径，取重力加速度g10 m/s2，sin370.6，cos370.8，求小球通过倾斜轨道CD的最长时间(结果保留一位有效数字)。答案0.7 s解析小球通过倾斜轨道时间若最长，则小球到达圆轨道的最高点的速度为0，从最高点到C点：对小球由动能定理可得：mghmv由几何关系得：hRRcos小球在CD段做匀加速直线运动，由位移公式得：LvCtat2CD的长度为：L对小球利用牛顿第二定律可得：mgsinma代入数据联立解得：t0.7 s。12. (2018开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角。板上一根
15、长为l0.60 m的轻绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点。当平板的倾角固定为时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v03.0 m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角的值应在什么范围内？(取重力加速度g10 m/s2)答案030解析小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力。在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mgsin小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有FTmgsinm研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有mglsinmvmv若恰好能通过最高点，则绳子拉力FT0联立解得sin，解得30故的范围为030。
