1、课时分层训练(五十三)直线与圆锥曲线的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1B.2C1或2 D.0A因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点2已知直线y2(x1)与抛物线C：y24x交于A，B两点，点M(1，m)，若0，则m()A. B.C. D.0B由得A(2,2)，B.又M(1，m)且0，2m22m10，解得m.3(2017南昌模拟)椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A. B.C. D.A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y
2、0)由题设kOM.由得.又1，所以.4已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1D由题意知点(2，)在渐近线yx上，所以，又因为抛物线的准线为x，所以c，故a2b27，所以a2，b.故双曲线的方程为1.5已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1A因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的
3、横坐标为1，即a22b2.又a2b2c2，所以bc3，a3，所以E的方程为1.二、填空题6已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为_16直线l的方程为yx1，由得y214y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，|AB|y1y2p14216.7设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为_. 【导学号：01772344】双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以240，2，e.8已知椭圆1(0bb0)，由题意得b，3分解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为
4、1.5分(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1(k0)由8分得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0，整理，得96(2k1)0，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.10分将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.12分10已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解(
5、1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件可得a2，c，b1，故椭圆C的方程x21.5分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.8分设OAB的面积为S，由x1x20，yt在t3，)上单调递增，t，00)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B.C. D.1C如图所示，设P(x0，y0)(y00)，则y2px0，即x0.设M(x，y)，由2，得化简可得直线OM的斜率为k(当且仅当y0p时取等号)2(2017青岛质检)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P
6、.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_2如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.3已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)图893(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程. 【导学号：01772347】解(1)由题设知解得3分椭圆的方程为1.5分(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d.由d1得|m|.(*)|CD|22.8分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB|.10分由得1，解得m，满足(*)直线l的方程为yx或yx.12分
