1、解答题(一)17(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC.(1)求A；(2)若ab2c，求sinC.解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cosA.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sinAsin(120C)2sinC，即cosCsinC2sinC，可得cos(C60).因为0C0，CDADa.可得E(0,0,0)，A(0,0，a)，B(0，a，a)，D(a,0,0)，C(a，a,0)则(a,0,0)，(0，a，
2、a)，(a，a,0)设平面DEB的一个法向量为n(x，y，z)，则有令y，得n(0，2)设平面EBC的一个法向量为m(p，q，r)，则令q，得m(2，2)得cosn，m.所以二面角DEBC的余弦值为.19(2019安徽蚌埠第三次质检)已知点E(2,0)，F(2,0)，P(x，y)是平面内一动点，P可以与点E，F重合当P不与E，F重合时，直线PE与PF的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹方程；(2)一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围解 (1)当P与点E，F不重合时，kPEkPF，得，即y21(y0)，当P与点E，F重合时，P(2,0)或P(2,0)综上，动点P的轨迹方程为
3、y21.(2)记矩形面积为S，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S8.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为ykxm，则其对边方程为ykxm，另一边所在直线方程为yxn，则其对边方程为yxn，联立得(14k2)x28kmx4(m21)0，则0，即4k21m2.矩形的一边长为d1，同理，1n2，矩形的另一边长为d2，Sd1d24 4 4 4(8,10综上，S(8,1020(2019安徽江淮十校第三次联考)已知函数f(x)x，g(x)(ln x)22aln xa.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若存在x10,1，使得对任意的x21，e2，f(x1)g(x2)成立，求实数a
4、的取值范围解(1)f(x)10，又x1，故f(x)在(，1)为增函数，在也为增函数(2)由(1)可知，当x0,1时，f(x)为增函数，f(x)maxf(1)，由题意可知g(x)(ln x)22aln xa对任意的x0,2恒成立令tln x，则当x1，e2时，t0,2，令h(t)t22ata，问题转化为h(t)0对任意的t0,2恒成立，由抛物线h(t)的开口向上，知即解得a.故实数a的取值范围是.21(2019福建龙岩质检)某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(nN*)份血液样本，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(kN*，且k2)份血液
5、样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0p1)(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(kN*且k2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2.试运用概率统
6、计的知识，若E(1)E(2)，试求p关于k的函数关系式pf(k)；若p1，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更小，求k的最大值参考数据：ln 20.6931，ln 31.0986，ln 41.3863，ln 51.6094，ln 61.7918.解(1)因为P，所以恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为.(2)由已知得E(1)k，2的所有可能取值为1，k1，P(21)(1p)k，P(2k1)1(1p)k，E(2)(1p)k(k1)1(1p)kk1k(1p)k.若E(1)E(2)，则kk1k(1p)k，k(1p)k1，即(1p)k，1p，p
7、1，p关于k的函数关系式为p1 (kN*且k2)由题意可知E(2)E(1)，得(1p)k，p1，k，设f(x)ln xx(x0)，f(x)，当x3时，f(x)，ln 51.6094，1.6667，ln 5，k的最大值为4.22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，0，)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为8sin.(1)在直角坐标系xOy中，求圆C的圆心的直角坐标；(2)设点P(1，)，若直线l与圆C交于A，B两点，求证：|PA|PB|为定值，并求出该定值解(1)圆C的极坐标方程为4sin4cos，又2x2y2，xcos，ysin，则圆C：x
8、2y24x4y0，圆心坐标C(2,2)(2)将代入C：x2y24x4y0，得t2(2sin2cos)t120，设点A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1t212，|PA|PB|t1t2|12.23(2019四川广安、眉山毕业班第一次诊断性考试)已知不等式|2x1|x1|3的解集M.(1)求M；(2)若m，nM，求证：1.解(1)当x时，不等式即为2x1x13，解得1x；当x1时，不等式即为2x1x13，解得x1时，不等式即为2x1x13，此时无解综上可知，不等式的解集Mx|1x1(2)证明：m，n(1,1)，欲证1，需证|mn|mn1|，即证(mn)2(mn1)2，即m2n22mn0，因为m，n(1,1)，所以(m21)(n21)0显然成立所以1成立