1、6.4.3统计与概率问题综合应用必备知识精要梳理离散型随机变量的期望与方差(1)E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为X的均值或数学期望.(2)D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xi-E(X)2pi+(xn-E(X)2pn叫做随机变量X的方差.(3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(+)=E()+E();D(aX+b)=a2D(X).关键能力学案突破热点一离散型随机变量的期望与方差【例1】(2020山西临汾高三适应性训练,19)今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A、B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和
2、Y.根据市场分析,X和Y的分布列分别为:X5%10%P0.80.2Y2%8%12%P0.20.50.3(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,和分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(),D();(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?注:D(aX+b)=a2D(X)解题心得期望与方差的一般计算步骤(1)理解离散型随机变量的意义,写出变量X的所有可能取的值;(2)求X取各个值时的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.若变量X服从二项分布等特殊分布时,期
3、望与方差可直接利用公式求解.【对点训练1】(2020四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,nN)的函数解析式;(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你
4、认为应加工16个还是17个?请说明理由.热点二统计数据及概率在现实决策问题中的应用【例2】(2020山西太原5月模拟,20)为实现2020年全面建设小康社会,某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判,准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的该核心部件中随机抽取400个,对其尺寸x进行统计后整理的频率分布直方图.根据行业质量标准规定,该核心部件尺寸x满足:|x-12|1为一级品,12为三级品.(1)现根据频率分布直方图中的分组,用分层抽样的方法先从这400个部件中抽取40个,再从所抽取的40个部件中,抽取出所有尺寸x12,15的
5、部件,再从所有尺寸x12,15的部件中抽取2件,记为这2个部件中尺寸x14,15的个数,求的分布列和数学期望;(2)将甲设备生产的部件成箱包装出售时,需要进行检验.已知每箱有100个部件,每个部件的检验费用为50元.检验规定:若检验出三级品需更换为一级或二级品;若不检验,让三级品进入买家,厂家需向买家每个支付200元补偿.现从一箱部件中随机抽检了10个,结果发现有1个三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家支付费用作为决策依据,问是否对该箱中剩余部件进行一一检验?请说明理由;(3)为加大生产力度,厂家需增购设备.已知这种部件的利润如下:一级品的利润为500元/个;二级品的利润为400
6、元/个;三级品的利润为200元/个.乙种设备生产的该部件中一、二、三级品的概率分别是25,12,110.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家的利润作为决策依据,则应选购哪种设备?请说明理由.解题心得利用均值和方差进行决策的方法利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策.其中随机变量的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量1,2的均值.当E(1)=E(2)时,不应误认为它们一样好.需要用D(1
7、),D(2)来比较这两个随机变量的偏离程度.(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.【对点训练2】(2020广东惠州一模,20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可
8、运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?热点三统计与概率和函数、导数的综合【例3】(2020山东威海一模,22)新药在进入临床实验之前,需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进行5 000次动物实验,一次实验方案如下:选取3只白鼠对药效进行检验,当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”,即确定“实验成功”;若有且只有1只“效果明显”,则再取2只白鼠进行二次检验,当2只白鼠均使用“效果明
9、显”,即确定“实验成功”,其余情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的实验相互独立,且使用“效果明显”的概率均为p(0p1).(1)若p=12,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为p0,求p0的值;(2)若动物实验预算经费700万元,对每只白鼠进行实验需要300元,其他费用总计为100万元,问该动物实验总费用是否会超出预算,并说明理由.解题心得解决统计与概率和函数、导数的综合问题,关键是读懂题意,将与概率有关的问题(尤其是最值问题)转化为函数问题,再利用函数或导数知识解决.在转化过程中,对已知条件进行适当的变形、整理,使之与求解的结论建立联系,从而解决问题.【对点训练3】(2020东北师
10、大附中模拟,20)随着现代电子技术的迅猛发展,关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科可靠性理论.在可靠性理论中,一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性.元件组成系统,系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.现有n(nN*,n2)种电子元件,每种2个,每个元件的可靠性均为p(0p1).当某元件不能正常工作时,该元件在电路中将形成断路.现要用这2n个元件组成一个电路系统,有如下两种连接方案可供选择,当且仅当从A到B的电路为通路状态时,系统正常工作.(1)()分别写出按方案和方案建立的电路系统的可靠性P1,P2(用n和p表示);()比较P1与P2的大小,说明哪种连接方案更稳定可靠;(2)设
11、n=4,p=45,已知按方案建立的电路系统可以正常工作,记此时系统中损坏的元件个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.热点四统计与概率和数列的综合【例4】(2020山东青岛二模,22)中国女排,曾经十度成为世界冠军,铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为:扎扎实实,勤学苦练,无所畏惧,顽强拼搏,同甘共苦,团结战斗,刻苦钻研,勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用,给予全国人民巨大的鼓舞.(1)看过中国女排的纪录片后,某大学掀起“学习女排精神,塑造健康体魄”的年度主题活动,一段时间后,学生的身体素质明显提高,将该大学近5个月体重超重的人数进行统计,得到如下表格:
12、月份x12345体重超重的人数y640540420300200若该大学体重超重人数y与月份变量x(月份变量x依次为1,2,3,4,5)具有线性相关关系,请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下?(2)在某次排球训练课上,球恰由A队员控制,此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递,已知每当球由A队员控制时,传给B队员的概率为12,传给C队员的概率为12;每当球由B队员控制时,传给A队员的概率为23,传给C队员的概率为13;每当球由C队员控制时,传给A队员的概率为23,传给B队员的概率为13.记an,bn,cn为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.()若n=3,记B队员控制球的次数为X,求E(X);()若an=23bn-1+23cn-1,bn=12an-1+13cn-1,cn=12an-1+13bn-1,n2,nN*.证明:数列an-25为等比数列,并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与25的大小.附1:回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b=i=1nxiyi-n