1、湖南省衡阳市2017届高三上学期期末考试（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，其中为虚数单位，则所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.已知集合，则（ ）A B C D3.执行如下图所示的程序框图，输出的值为（ ）A1 B C D 4.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为奇数，两次点数之和为，则（ ）A B C. D5.若正三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则它的侧视图的面积为（ ）A B C. D6.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与
2、该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A B C. D7.函数的部分图象可能是（ ）8.过抛物线的焦点的直线与圆相交，截得弦长最短时的直线方程为（ ）A B C. D9.在中，边上的高为在上，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（ ）A或 B 1 C.1或 D10.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）
3、A B C. D11.如下图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为若，则的值为（ ）A B C. D12.设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.三位女同学两位男同学站成一排，男同学不站两端的排法总数为 （用数字填写答案）14.已知实数满足，则的取值范围是 15.在中，已知角的正切值为函数在处切线的斜率，且，则 16.表面积为的球面上有四点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥体积的最大值是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.18. （本小题满分12分）酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为（简称血酒含量，单位是毫克毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车，如图为某市交管部门在一次夜间行动中依法查处的60名酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图.（1）求查获的醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在
5、四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是上的点.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）椭圆的上顶点为是椭圆上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左焦点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值.21. （本小题满分12分）已知，其中是的反函数.（1）若，证明：函数在区间上是增函数；（2）证明：；（3）设，若对任意的有恒成立，求满足条件的最小整数的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题
6、满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.曲线的图象与轴、轴分别交于两点.（1）判断两点与曲线的位置关系；（2）点是曲线上异于两点的动点，求面积的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若，求的最大值.试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 36 14. 15. 16. 三、解答题17.解析：（1）成等差数列， 2分又得即即， 4分又当时，故数列是首项为2公比为2的等比数列，即. 6分
7、（2）由（1）知， 8分记得. 12分18. 解析：（1）酒精含量大于80的频率为，所以醉酒驾车的人数为：人； 4分（2）由分层抽样对应比例相同可知抽取8人做样本，则醉酒驾车人数为2人，所以的可能取值为6分，8分的分布列为01210分数学期望值为： 12分19.（1）证明：平面平面，又平面，平面平面平面. 4分（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，设，则，6分取，因为，所以为面的法向量，设，取，则，即，取，则，8分依题意，则10分于是，设直线与平面所成角为，则. 12分20. 解析：（1）由题知，2分得？，又点在椭圆上，所以解得，又？，联立:解得：，故所求椭圆的方程.5分（2）易知直
8、线的斜率不为0，可设直线的方程为：，由得：，7分设内切圆的半径为的周长为，面积为，由椭圆的定义和，要使内切圆面积最大，只需要求的面积最大，的面积为：，令10分，当且公当即时取等号，此时直线的方程为：.12分21. 解：（1）由题意：，当时，故函数在区间上是增函数.3分（2）由（1）知，当时，在单调递增5分令，所以8分（3）由即：又则，单调递增；又则必然存在，使得在单调递减，单调递增，则，又又，则恒成立10分令则在单调跌增 又在单调递增又为整数最小整数的值为：2.12分22. 解：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为联立方程可求得的交点分别是，易知两点分别是曲线的左顶点和下顶点，故两点均在曲线上.5分（2）设的坐标为，则点到直线的距离为而的长度为，所以的面积为故.10分23. 解析：（1）由于所以5分（2）由已知，有，因为（当取等号），（当取等号），所以，即，故.10分