1、专题17 球与几何体的切接问题真题再研析提升审题力考向一 球的内接问题【典例】(2020全国卷)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,O1为ABC的外接圆,若O1的面积为4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64B.48C.36D.32A 设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,得r2=4,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin 60=2 ,所以OO1=AB=2 ,根据球截面性质得OO1平面ABC,所以OO1O1A,R=OA=4,所以球O的表面积S=4R2=64.考向二 球的外切问题【典例】(2020全国卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积
2、为_.【解析】方法一:易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切圆的圆心为O,由于故SABC=设内切圆半径为r,则SABC=SAOB+SBOC+SAOC=ABr+BCr+ACr解得其体积:方法二:分析知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球,如图,由题可知圆锥的母线长为BS=3,底面半径为 BC=1,高不妨设该内切圆与母线BS切于D点,令OD=OC=r,则由SODSBC,可得即答案:【考前必备】1.有关球的问题的计算依据(1)两条性质截面是圆;球心与截面圆心的连线与截面垂直;(2)两个相等外接球球心到多面体的顶点的距离
3、相等;内切球球心到其内切多面体各面的距离相等.2.简单多面体外接球的球心的结论(1)正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.(2)正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线中点.(3)直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.3.多面体与球相切的计算关系式(1)正四面体与球设正四面体的棱长为a内切球的半径:外接球的半径:(2)正方体与球正方体的棱长为a正方体的内切球:正方体的外接球的半径:正方体棱切球:【考场秘技】一点一面解切、接通法(1)“切”的处理找准切点,作出截面;通过球心的截面,建立球的直径与其外切几何体的几何度量关系.(2)“接”的处理找出截面圆的圆心,作出截面;
4、根据球的截面的性质构建方程,即R2=d2+r2(截面圆半径r,球心到截面的距离d).【命题陷阱】1.想不出球内接棱锥体积最大时的情况为高过球心时【案例】T3当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大.2.不能将条件转化为球的半径R,截面圆半径r,球心距d之间的关系【案例】T1正四棱锥的高为球的半径R加球心距d,然后根据勾股定理即可求出球的半径R.1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()高考演兵场检验考试力1.A 正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,PO=AO=R,PO1=4,OO1=4-R,在RtAOO
5、1中,AO1=,由勾股定理所以球的表面积2.在三棱锥P-ABC中,已知BC=,AC=,ACB=30.点O为三棱锥P-ABC外接球的球心,OC与平面ABC所成角的正切值为,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()2.A 在ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB所以AB=.故ABBC,则ABC外接圆的圆心O1为AC的中点,连接OO1,如图,则OO1平面ABC,则OC与平面ABC所成的角为OCO1.由得OO1=则球O的半径则三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4R2=10.3.已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为
6、36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.2563.C 如图所示,当点C位于垂直于平面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=故R=6,则球O的表面积为S=4R2=144.4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1所成角的余弦值为,则该长方体外接球的表面积为()A.98B.196C.784D.4.B 连接AC,与BD交于O点,则O为AC中点,取CC1中点E,连接BE,OE,则AC1OE,所以EOB为异面直线BD与AC1所成角,设CE=x,则BE=又AB=8,AD=6,则OB=O
7、C=5,OE=在OBE中,由余弦定理得BE2=36+x2=OB2+OE2-2OBOEcosEOB,36+x2=25+25+x2-2 解得所以长方体的体对角线长为所以长方体的外接球的半径为7,所以长方体外接球的表面积为196.5.如图,实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成,已知BC=EF=cm,AE=2 cm,BE=CF=4 cm,AD=7 cm,且AEEF,AD底面AEF.某工厂要将其铸成一个实心铁球,假设在铸球过程中原材料将损耗20%,则铸得的铁球的半径为()5.A 设铸得的铁球的半径为r cm.依题意,可得该几何体的体积为则6.已知ABC中,AB=BC=4,ABC=90
8、,平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是()A.32B.36C.25D.166.B 因为PA=PB=PC=,所以三棱锥顶点P在底面投影为ABC的外心,则ACP的外接圆半径等于三棱锥P-ABC外接球半径,因为ABC是等腰直角三角形,斜边AC=,如图在ACP中,PA=PC=,AC=,则设ACP外接圆的半径为r,则解得r=3.则三棱锥P-ABC外接球的半径R=3,故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4R2=36.7.阿基米德(公元前287年公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的
9、一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论,要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,表面积为54的圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则该球的体积为()A.4B.16 C.36 D.7.C 设球的半径为R,根据题意圆柱的表面积为S=2R2+2R2R=54,解得R=3,所以该球的体积为8.已知一块形状为正三棱柱ABC-A1B1C1(底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱)的实心木材,AB=AA1=.若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积的最大值为()8.C 由题意,最大球应该是
10、和正三棱柱三个侧面都相切的球,即球的大圆和正三棱柱的横截面相切,横截面是边长为的正三角形,所以内切圆半径为r=3=1,所以球体积的最大值为.9.已知正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为,则该正四棱锥外接球的表面积为()A.16B.24C.36D.649.C 如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,设底面正方形ABCD的中心为点E,可知该正四棱锥的外接球球心在直线PE上,由于正方形ABCD的边长为4,所以易知PE平面ABCD,且AC平面ABCD,所以PEAC,且设正四棱锥P-ABCD的外接球半径为R(R0),且OE=由勾股定理得OE2+AE2=OA2,即(4-R)2+8=R2,解得R=3,因此,该正四棱锥的外接球的表面积为4R2=432=36.10.已知正四面体A-BCD的内切球的表面积为36,过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A-BCD,则所得截面的面积为()10.C 由内切球的表面积S表=4R2=36,得内切球半径R=3,如图,过点A作AH平面BCD,则点H为等边BCD的中心,连接BH并延长交CD于点E,且点E为CD中点,连接AE,记内切球球心为O,过O作OFAE,设正四面体边长为a,则又因为OH=OF=3,所以AO=a-3,由AOFAEH,得即解得,因为ABE过棱AB和球心O,所以ABE即为所求截面,且