1、榆林市20202021学年度第一学期期末调研试题高二数学(文科)满分150分，时间120分钟.一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由交集定义计算【详解】根据集合交集中元素的特征，可得，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题2. 已知等比数列的各项都是正数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比中项的性质结合数列是正项数列可求得的值.【详解】已知等比数列的各项都是正数，且，由等比中项的性质可得。因此，.故选：C.
2、3. 的内角，的对边分别为，.若，则的值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理建立方程可得选项.【详解】由正弦定理得，解得，故选：B.【点睛】本题考查运用正弦定理解三角形，属于基础题.4. 已知向量，不共线，若，则（ ）A. -12B. -9C. -6D. -3【答案】D【解析】【分析】根据，由，利用待定系数法求解.详解】已知向量，不共线，且，因为，所以，则，所以，解得，故选：D【点睛】本题主要考查平面向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性判断
3、.【详解】因为，所以，故选：D6. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则 ( )A. 9B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的方程，算出焦点为，准线方程为，利用抛物线的定义求得弦长，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程为，可得，所以抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义，可得，所以，又因为过抛物线的焦点，且，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，以及抛物线的焦点弦问题，其中解答中熟记抛物线的定义，合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.
4、必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解不等式，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】解不等式得；由能推出，由不能推出；所以“”是“”的必要不充分条件.故选B8. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）A B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将化为，观察图形可得，当直线过点时，取得最大值为3.故选：D.9. 已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可得
5、在上单调递增，讨论和两种情况可求出.【详解】对任意，且，都有，在上单调递增， 的对称轴为，当时，开口向下，在单调递减，不符合题意；当时，开口向上，要在单调递增，则，解得，综上，.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数，解题的关键是判断出在上单调递增.10. 一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设球的半径为,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.【详解】设球的半径为,则该圆柱的底面半径为，高为所以圆柱的表面积为：,球的表面积为：则圆柱的全面积与球的表面积之比为故答案选B【点睛】本题主要考查了圆柱和
6、球的表面积，属于基础题.11. 已知命题，命题，则下列命题是真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据初等函数的性质，先判定命题都为假命题，再利用复合命题的真假判定方法，结合选项，即可求解.【详解】例如：当时，所以命题“”假命题，由，所以，所以命题“，”为假命题，则和都为真命题，所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题.故选：B.12. 已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据题意求出，再利用裂项求和法即可求解.【详解】是一个等差数列的前项和，则，解得，所以，所以，所以的前项和
7、为，则.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若，则_【答案】【解析】【分析】【详解】14. 曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出曲线在处的导数值即切线斜率，即可得出方程.【详解】，在点处的切线的斜率，则切线方程为，即.故答案为：.15. 为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度(单位：)随时间(单位：)的变化关系为，则池水中药品的浓度最大可达到_.【答案】4【解析】【分析】，然后利用对勾函数的知识可得答案.【详解】因为，所以当时故答案为：
8、416. 已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，为半径的圆与x轴交于O，A两点，与双曲线C的一条渐近线交于O，B两点.若，则双曲线C的一条渐近线方程为_.【答案】(或)【解析】【分析】，可得，即，化简可得，即得渐近线方程.【详解】由题可知，OA为圆F的直径，B为圆上一点，不妨设B在渐近线上，则在直角三角形中，即，即，解得，即，故双曲线C的一条渐近线方程为(或).故答案为：(或).【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解，解题的关键是得出，建立关于的齐次方程可求出.三解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
9、且，.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解；（2）求解得，代入面积公式求解.【详解】（1），.（2），.18. 设等差数列的前项和为，.（1）求；（2）设，证明数列是等比数列，并求其前项和.【答案】（1）；（2）证明见解析；.【解析】【分析】（1）利用等差数列的求和公式和基本量运算得到；（2）利用定理证明数列是等比数列，公式法求和即可【详解】（1）由题可知是等差数列.由，联立解得，所以；（2）由，得数列是首项为，公比为2的等比数列.数列的前项和.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查学生计算能力，属于基础题19. 如
10、图，四棱锥的底面是直角梯形，侧面，是等边三角形，E是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得，即可证明；（2）由可求.【详解】解：（1）证明：侧面，平面，是等边三角形，E是线段的中点，又，平面，平面，平面.（2）侧面，是三棱锥高，是等边三角形，.20. 为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图.（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取个进行政策问询.
11、如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商贩的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近天的日收入（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图.若从该果蔬经营点的日收入超过元的天数中机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过元的概率.【答案】（1）应抽取小吃类商贩（家），果蔬类商贩（家）；（2）.【解析】【分析】（1）求出小吃类、果蔬类商贩的占比，再乘以可得结果；（2）计算可知该果蔬经营点的日收入超过元的天数为天，其中超过元的有天，记为、，其余天为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“两天的日收入至少有一天超过元”所包含的基本事件，利用古典概型的
12、概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】（1）由题意知，小吃类商贩所占比例为，按照分层抽样的方法随机抽取，应抽取小吃类商贩：（家），果蔬类商贩：（家）.（2）该果蔬经营点的日收入超过元的天数为天，其中超过元的有天，记日收入超过元的天为、，其余天为、，随机抽取两天的所有可能情况有：、，共种，其中至少有一天超过元的所有可能情况有：、，、，共种.所以，这两天的日收入至少有一天超过的概率为.【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）树状图法；（2）列举法；（3）列表法；（4）排列组合数的应用.21. 已知椭圆的离心率为，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，（1）求椭圆的方程（2）若，求
13、的最大值.【答案】(1)(2)当直线过原点时最大，为【解析】【分析】（1）由椭圆离心率为，焦距为列方程组求解即可（2）设直线方程为：，由直线与椭圆有两个不同的交点，得到的范围，联立直线与椭圆方程，整理，表示出，从而表示出，转化成函数最大值问题求解【详解】（1）由题可得：，解得：，所以椭圆的方程为：（2）设直线方程为：，联立直线与椭圆方程得：，整理得：，所以，直线与椭圆有两个不同的交点，则：，解得：所以=，当且仅当时，等号成立所以的最大值为.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了韦达定理、弦长公式及直线与椭圆相交知识，考查了转化思想及计算能力，属于基础题22. 已知函数，常数a大于零.（
14、1）若，求的单调区间；（2）若函数存在零点，求证：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出的导数，构造函数，可得单调递增，即可得出的正负，判断出单调区间；（2）可得，构造函数，通过导数判断的单调性，求出的值域即可.【详解】解：（1）当时，则，令，显然单调递增，且，当时，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：当时，由函数，得，令，则，令，由单调递减，且，得在上单调递增，在上单调递减，故在处取最大值，最大值为，得.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
