1、第1节导数的概念及运算最新考纲1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：函数yf(x)在点x0的瞬时变化率l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f(x0)，即 f(x0)(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)的切线的斜率等于f(x0
2、)2.函数yf(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)(或yx、y)3.基本初等函数的导数公式yf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)ynxn1，n为正整数yx (x0，0且Q)yx1，为有理数yax (a0，a1)yaxln ayexyexylogax(a0，a1，x0)yyln xyysin xycos xycos xysin x4.导数的运算法则若f(x)，g(
3、x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.常用结论与微点提醒1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.求导常见易错点：公式(xn)nxn1与(ax)axln a相互混淆；公式中“”“”号记混，如出现如下错误：，(cos x)sin x.3.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.4.曲线的切线与曲线的公
4、共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(3)(2x)x2x1.()(4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.()解析(1)f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0)是常数f(x0)的导数即(f(x0)0；(3)(2x)2xln 2；(4)(e2x)2e2x.答案(1)(2)(3)(4)2.函数yxcos xsin x的导数为()A.xsin x B.xsin xC.xcos x D.xcos x解析y(xcos x
5、)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.答案B3.(教材习题改编)曲线y在x处的切线方程为()A.y0 B.yC.yx D.yx解析y，y|x，当x时，y，切线方程为y，即yx.答案C4.设f(x)ln(32x)cos 2x，则f(0)_.解析f(x)2sin 2x，所以f(0).答案5.(2017天津卷)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_.解析f(1)a，切点为(1，a).f(x)a，则切线的斜率为f(1)a1，切线方程为：ya(a1)(x1)，令x0得出y1，故l在y轴上的截距为1.答案1考点一导数的运算【
6、例1】 求下列函数的导数：(1)y(x1)(x2)(x3)；(2)ysin (12cos2)；(3)y；(4)yln .解(1)进行积的导数计算很烦琐，故先展开再求导.因为y(x23x2)(x3)x36x211x6，所以y3x212x11.(2)因为ysinsin x，所以y(sin x)cos x.(3)y.(4)y.规律方法1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错.2.(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.(2)复合函数求导，
7、应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.【训练1】 分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)yln.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ylnln(12x)，y(12x).考点二导数的几何意义(多维探究)命题角度1求切线的方程【例21】 (1)(2018湖北百所重点高中联考)已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A.1 B.1C.2 D.2(2)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线y
8、f(x)在点(1，2)处的切线方程是_.解析(1)由f(x1)，知f(x)2.f(x)，且f(1)1.由导数的几何意义，所求切线的斜率k1.(2)设x0，则x0时，f(x)ex1x.因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012.则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0.答案(1)A(2)2xy0命题角度2求参数的值【例22】 (1)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A.1 B.2 C.1 D.2(2)(2018沈阳调研)设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.解析(1)设切点为(x0，y0)，y，所以
9、有解得(2)y，则曲线y在点处的切线的斜率为k11.因为直线xay10的斜率k2，又该切线与直线xay10垂直，所以k1k21，解得a1.答案(1)B(2)1命题角度3求切点坐标【例23】 (1)(2017郑州月考)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A.3 B.2C.1 D.(2)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析(1)设切点的横坐标为x0(x00)，曲线y3ln x的一条切线的斜率为，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0，1)处
10、的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1，1).答案(1)A(2)(1，1)规律方法1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点
11、在切线上；切点在曲线上.【训练2】 (1)(2017全国卷)曲线yx2在点(1，2)处的切线方程为_.(2)(2018开封模拟)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(，2 B.(，2) C.(2，) D.(0，)解析(1)设yf(x)，则f(x)2x，所以f(1)211，所以在(1，2)处的切线方程为y21(x1)，即yx1.(2)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解.f(x)a2在(0，)上有解，则a2.因为x0，所以22，所以a的取值范围是(，2).答案(1)yx1(2)B基础巩固题组(
12、建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)3cos x B.f(x)x3x2C.f(x)1sin 2x D.f(x)exx解析A选项中，f(x)3sin x，其图象不关于y轴对称，排除A选项；B选项中，f(x)3x22x，其图象的对称轴为x，排除B选项；C选项中，f(x)2cos 2x，其图象关于y轴对称；D选项中，f(x)ex1，其图象不关于y轴对称.答案C2.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于()A.e B.1C.1 D.e解析由f(x)2x
13、f(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案B3.(2018广西五市联考)已知e为自然对数的底数，曲线yaexx在点(1，ae1)处的切线与直线2exy10平行，则实数a()A. B. C. D.解析yaex1，切线的斜率为y|x1ae1，又切线与直线2exy10平行，ae12e，解得a.答案B4.已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A.1 B.3 C.4 D.2解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，直线l的方程为yx1，g(x)x
14、m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，又因为y0xmx0(m0).解得m2.答案D5.(2018四川名校一模)已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A.0f(2)f(3)f(3)f(2)B.0f(3)f(2)f(3)f(2)C.0f(3)f(3)f(2)f(2)D.0f(3)f(2)f(2)f(3)解析f(2)，f(3)表示曲线yf(x)在点A，B处切线的斜率，又f(3)f(2)表示直线AB的斜率.所以0f(3)f(3)f(2)0).若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切
15、线是否为同一条直线.解根据题意有f(x)1，g(x).曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a，所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1).所以y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)，所以y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直线.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若存在过点(1，0)的直线与曲线yx3和yax2x9(a0)都相切，则a的值为()A.1或 B.1或C.或 D.或7解析由yx3得y3x2，设曲线yx3上
16、任意一点(x0，x)处的切线方程为yx3x(xx0)，将(1，0)代入得x00或x0.当x00时，切线方程为y0，由得ax2x90，4a90得a.当x0时，切线方程为yx，由得ax23x0，324a0得a1.综上知，a1或a.答案A12.(一题多解)(2015全国卷)已知曲线yxln x 在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析法一yxln x，y1，y|x12.曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行).由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a
17、8.法二同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01).y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).由解得答案813.(2018新乡调研)已知函数f(x)exx22ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)f(x)ex2x2，f(1)e，又f(1)e1，所求切线方程为y(e1)e(x1)，即exy10.(2)f(x)ex2x2a，f(x)在R上单调递增，f(x)0在R上恒成立，ax在R上恒成立，令g(x)x，则g(x)1，令g(x)0，则xln 2，在(，ln 2)上，g(x)0；在(ln 2，)上，g(x)0，g(x)在(，ln 2)上单调递增，在(ln 2，)上单调递减，g(x)maxg(ln 2)ln 21，aln 21，实数a的取值范围为ln 21，).
