1、3.3 导数与函数的极值、最值1.函数f (x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f (x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x0，f (x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0.当x2时，f(x)0，f (x)为增函数；当0x2时，f(x)0，函数f (x)单调递增，当x(2,2)时，f(x)0，函数f (x)单调递增，所以a2.4(2020苏锡常镇调研)f (x)exx在区间1,1上的最大值是()A1
2、B1Ce1De1答案D解析f(x)ex1，令f(x)0，得x0，令f(x)0，得x0，令f(x)0，得x0，则函数f (x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (1)e11，f (1)e1，f (1)f (1)2e2ef (1)故选D.5若函数f (x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为()A.B.C.D.答案D解析若函数f (x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10有两个不等实根，故(4c)2120，解得c或c.所以实数c的取值范围为.6若函数f (x)ax33x1对于x1,1总有f (x)0成立，则实数a的取值范围为()A2，) B4，)C4D2,4
3、答案C解析f(x)3ax23，当a0时，对于x1,1总有f(x)0，则f (x)在1,1上为减函数，f (x)minf (1)a20，不合题意；当0a1时，f(x)3ax233a，f (x)在1,1上为减函数，f (x)minf (1)a21时，f (x)在和上为增函数，在上为减函数，所以有f (1)a40，且f10，解得a4.综上所述，a4.7(多选)对于函数f (x)，下列说法正确的有( )Af (x)在xe处取得极大值Bf (x)有两个不同的零点Cf (2)f ()f (3)D若f (x)k在(0，)上恒成立，则k1答案ACD解析函数的导数f(x)，x0，令f(x)0得xe，则当0xe时
4、，f(x)0，函数f (x)为增函数，当xe时，f(x)0，函数f (x)为减函数，则当xe时，函数取得极大值，极大值为f (e)，故A正确，当x0，f (x)，x，f (x)0，则f (x)的图象如图所示，由f (x)0，得lnx0，得x1，即函数f (x)只有一个零点，故B错误，因为f (4)f (2)，f (3)f ()f (4)，故f (2)f ()f (3)成立，故C正确，若f (x)k在(0，)上恒成立，则k，设h(x)，x0，则h(x)，当0x1时，h(x)0，当x1时，h(x)0，即当x1时，函数h(x)取得极大值同时也是最大值h(1)1，k1成立，故D正确8(多选)关于函数f
5、 (x)x2(lnxa)a，以下4个结论中正确的是()Aa0，x0，f (x)0Ba0，x0，f (x)0Ca0，x0，f (x)0Da0，x0，f (x)0答案ABD解析当a时，f (x)x2，函数的定义域为(0，)，此时函数的导数f(x)2xx22xlnxxx2xlnx，由f(x)0得，x1，则当x1时，则f(x)0，此时函数单调递增，当0x1时，则f(x)0，此时函数单调递减，故当x1时，函数f (x)取得极小值同时也是最小值f (1)0，则对x0，f (x)f (1)0；故A正确，当a5时，则f (x)x2(lnx5)5，则f (e)e2(lne5)54e250，故a0，x0，f (x
6、)0，B正确当a5时，xe，满足e0，但f (e)0，故a0，x0，f (x)0不成立，故C错误函数的导数f(x)2x(lnxa)x22x(lnxa)x2x.由f(x)0，则lnxa0，即lnxa，即a0，函数f (x)都存在极值点，即x0，f (x)0成立，故D正确9(2020信阳调研)已知函数f (x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则f (2)的值为_答案18解析f(x)3x22axb，由题意得即解得或经验证a4，b11符合题意，此时f (x)x34x211x16，f (2)18.10函数f (x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f (x1)f (x2)|t
7、，则实数t的最小值是_答案20解析因为f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，可知1,1为函数的极值点又f (3)19，f (1)1，f (1)3，f (2)1，所以在区间3,2上，f (x)max1，f (x)min19.由题设知在区间3,2上，f (x)maxf (x)mint，从而t20，所以t的最小值是20.11设函数f (x)alnxbx2，若函数f (x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f (x)在上的最大值解(1)f(x)2bx，x0，函数f (x)在x1处与直线y相切，解得(2)由(1)知，f (x)lnxx2，x0，f(x)x，当xe
8、时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得10，由f(x)0，得x.所以f (x)在区间上单调递减，在区间上单调递增所以x是函数f (x)的极小值点，极大值点不存在(2)g(x)xln xa(x1)，则g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1.所以在区间(0，ea1)上，g(x)为减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为增函数当ea11，即a1时，在区间1，e上，g(x)为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0.当1ea1e，即1a2时，g(x)在区间1，ea1上为减函数，在区间ea1，e上为增函数，所以g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e，即a2时，在区间1，e上，g(
9、x)为减函数，所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上，当a1时，g(x)的最小值为0；当1a0，h(y)2y，当0y时，h(y)时，h(y)0，即函数h(y)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以h(y)minh2ln2.14当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_答案6，2解析当x0时，ax3x24x30，变为30恒成立，即aR，当x(0,1时，ax3x24x3，a，amax.设(x).(x)，当x(0,1时，(x)0，(x)在(0,1上单调递增，(x)max(1)6.a6.当x2,0)时，a，amin.同理可求得x2,0)时，min(1)2，a2，综上可
10、得，6a2.15已知函数f (x)xlnxmex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是_答案解析f (x)xln xmex(x0)，f(x)ln x1mex(x0)，令f(x)0，得m，设g(x)，g(x)(x0)，令h(x)ln x1，则h(x)0)，h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0，当x(0,1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增，当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1)，而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，若f (x)在两极值点，只要ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，只
11、需0m，故m0.16已知f (x)axlnx，当x(0，e时，是否存在实数a，使得f (x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解假设存在实数a，使得f (x)axln x(x(0，e)的最小值为3，由题意知f(x)a.当a0时，在(0，e上恒有f(x)0，函数f (x)在(0，e上单调递减，所以f (x)minf (e)ae13，即a，不满足a0，舍去当0e时，函数f (x)在上单调递减，在上单调递增，所以f (x)minf1ln a3，即ae2，满足条件当e时，f (x)在(0，e上单调递减，f (x)minf (e)ae13，即a，不满足e，舍去综上所述，当x(0，e时，存在实数ae2，使得f (x)的最小值为3.