1、第3节函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性知 识 梳 理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周
2、期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期常用结论与微点提醒1函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性2函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.(a0)3
3、函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在
4、x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错答案(1)(2)(3)(4)2已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A B. C. D解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.答案B3(2017北京卷)已知函数f(x)3x，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数解析f(x)的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，则f(x)为奇函数y3x为增函数，y为减函数，则f(x)3x为增函数，故选A.答案A4(2018台州调考)若函数yf(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，则f(2 018)
5、f(2 017)()A2 018 B0C1 D2 018解析因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0，且f(0)0，而f(2 018)f(21 0090)f(0)0，f(2 017)f(21 0081)f(1)0，故选B.答案B5偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3)f(1)3.答案36(2018宁波月考)设a0且a1，函数f(x)为奇函数，则a_，g(f(2)_解析f(x)是R上的奇函数，f(0)0，即a0120，a2；当x0时，x
6、0，g(f(2)g221222.答案22考点一函数奇偶性的判断【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0时，f(x)x24x，则f(x)_解析(1)因为f(x)是偶函数，g(x)
7、是奇函数，所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.(2)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又当x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，则f(x)x24x(x0)，f(x)答案(1)C(2)考点三函数的周期性及其应用(变式迁移)【例3】 (经典母题)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 017)_解析f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.又当x0，2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5
8、)f(2 016)f(2 017)1，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.答案1 009【变式迁移1】 若将本例中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”，则结论如何？解f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)，故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.【变式迁移2】 若将本例中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)”，则结论如何？解f(x1)，f(x2)f(x1)1f(x)，故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.规律方法(1)根据函数的周期性和奇偶性
9、求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间(2)若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期【训练3】 (1)(2016四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(2)_(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_解析(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x)的周期为2，f(2)f(0)0.又fff42，ff(2)2.(2)f(x4)f(x2)2f(x)，故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)
10、f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.答案(1)2(2)2.5考点四函数性质的综合运用【例4】 (1)(2017山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()A1，2 B.C. D(0，2解析(1)f(x4)f(x2)，f(x2)4f(x2)2，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)，又f(x)是定义在
11、R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.(2)由yf(x)为偶函数，且f(log2a)f(loga)2f(1)，f(log2a)f(log2a)2f(1)f(log2a)f(1)，又f(log2a)f(|log2a|)且f(x)在0，)上递增，|log2a|11log2a1，解得a2.答案(1)6(2)C规律方法(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用
12、周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解【训练4】 (1)(2018温州调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 017)f(2 019)的值为()A1 B1 C0 D2(2)设函数f(x)的最大值为M，最小值为m.则Mm_解析(1)由题意，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)由g(x)f(x1)，得g(x)f(x1)，f(x1)f(x1)由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)f(x)，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)0.f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.(2)f(x)1，令g(x)，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，故Mm2.答案(1)C(2)2
