1、第六节正弦定理和余弦定理A级基础过关|固根基|1.在ABC中，若，则B的大小为()A30B45C60D90解析：选B由正弦定理知，tan B1.0B0，则cos C2，由余弦定理AC2BC2AB22BCABcos B，得AC24224，即9AC3193AC3360，得(AC3)(3AC7)(3AC16)0，解得AC或AC3.当AC时，ABC为等腰三角形，且cos B，2B2ACBA，由三角形内角和定理ABACB，得B，与cos B矛盾，舍去；当AC3时，由三角形的角平分线定理，得，即，解得AD1.综上可得，AD1.解法二：因为A2B，BC4，所以由正弦定理，得，所以cos B，则cos Aco
2、s 2B2cos2B11.在ABC中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，由正弦定理可得ACcos ABCcos BAB，即AC4，解得AC(舍去)或AC3，由三角形的角平分线定理，得，即，解得AD1.答案：19(2019年天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2a，3csin B4asin C(1)求cos B的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B，又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.又因为bc2a，得到ba，ca.由余弦定理可得，cos B.(
3、2)由(1)可得，sin B，从而sin 2B2sin Bcos B，cos 2Bcos2Bsin2B，故sinsin 2Bcoscos 2Bsin .10(2020届石家庄摸底)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcos Aac，D是BC边上的点(1)求角B；(2)若AC7，AD5，DC3，求AB的长解：(1)由bcos Aac及正弦定理，得sin Bcos Asin Asin C，即sin Bcos Asin Asin(AB)，所以sin Bcos Asin Asin Acos Bcos Asin B，即sin Asin Acos Bsin A0，cos B，B.(2)在A
4、DC中，AC7，AD5，DC3，cosADC，ADC.在ABD中，AD5，B，ADB，由，得AB.11(2019年江苏卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a3c，b，cos B，求c的值；(2)若，求sin的值解：(1)因为a3c，b，cos B，由余弦定理cos B，得，即c2.所以c.(2)因为，由正弦定理，得，所以cos B2sin B，从而cos2B(2sin B)2，即cos2B4(1cos2B)，故cos2B.因为sin B0，所以cos B2sin B0，从而cos B.因此sincos B.B级素养提升|练能力|12.(2020届惠州调研)已知ABC的内
5、角A，B，C的对边分别为a，b，c，且内角满足.(1)求角A；(2)若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值解：(1)由题意及正弦定理可得，化简得b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，cos A.又0A，A.(2)记ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R，即a2Rsin A2sin ，由余弦定理得3b2c2bc2bcbcbc，即bc3(当且仅当bc时取等号)，故Sbcsin A3(当且仅当bc时取等号)，即ABC的面积S的最大值为.13(2019年全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求
6、ABC面积的取值范围解：(1)由题设及正弦定理，得sin Asin sin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B由ABC180，可得sin cos ，故cos 2sin cos .因为cos0，故sin ，因此B60.(2)由题设及(1)知，ABC的面积SABCacsin Ba.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知，AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.所以ABC面积的取值范围是.14(2019届长春市第二次质量监测)如图，在ABC中，AB3，ABC30，cos ACB.(1)求AC的长；(2)作CDBC，连接AD，若ADCD23，求ACD的面积解：(1)因为cosACB，所以sinACB，由正弦定理得ACsinABC2.(2)因为CDBC，所以ACD90ACB，所以cosACDsinACB.设AD2m，则CD3m.由余弦定理得AD2AC2CD22ACCDcosACD，即4m249m2223m，解得m1或m.当m1时，CD3，sinACD，SACDACCDsinACD；当m时，CD，sinACD，SACDACCDsinACD.综上，ACD的面积为或.