1、核心素养测评十四 利用导数研究函数的极值、最值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)=+ln x则()A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为 f(x)的极小值点【解析】选D.f(x)=-+=,由f(x)0,得x2,所以f(x)的增区间为,f(x)的减区间为(0,2),所以f(x)只有极小值,极小值点为x=2.2.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导函数f(x)的图象如图,则下列结论正确的是()A.a,c分别是极大值点和极小值点B.b,c分别是极大值点和极小值点C.f(x)在区间(a,c)上是
2、增函数D.f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选C.由极值点的定义可知,a是极小值点,无极大值点;由导函数的图象可知,函数f(x)在区间(a,+)上是增函数.3.已知x=是函数f(x)=x(ln ax+1)的极值点,则实数a的值为()A.B.C.1D.e【解析】选B.因为函数f(x)=x(ln ax+1)有极值点,所以f(x)=(ln ax+1)+1=2+ln ax;因为x=是函数f(x)=x(ln ax+1)的极值点,所以f=2+ln a=0;所以ln a=-2;解得:a=.4. (2020徐州模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加
3、0.5元,销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x,x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数,若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤【解析】选B.设销售利润为g(x),得g(x)=-x3+ax2+x-1-x=-x3+ax2-1,当x=2时,g(2)=-23+a22-1=2.5,解得a=2.所以g(x)=-x3+x2-1,g(x)=-x2+x=-x(x-6),所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.所以当x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值.5.(多选)(2020烟台模拟)已知函数f=,
4、则下列结论正确的是()A.函数f存在两个不同的零点B.函数f既存在极大值又存在极小值C.当-ek0时,-1x2,当f0时,x2,故,是函数的单调递减区间,是函数的单调递增区间,所以f是函数的极小值,f是函数的极大值,所以B正确.对于C.当x+时,y0,根据B可知,函数的最小值是f=-e,再根据单调性可知,当-ek0,令f(x)=0,可得x=-2或x=1,当x0,即函数f(x)在(-,-2)上单调递增;当-2x1时,f(x)1时,f(x)0,即函数f(x)在区间(1,+)上单调递增.故f(x)的极值点为-2或1,且极大值为f(-2)=.答案:1或-28.已知函数f(x)=当x(-,m时,函数f(
5、x)的取值范围为-16,+),则实数m的取值范围是_.【解析】当x0时,f(x)=3(2+x)(2-x),所以当x-2时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当-20,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=-2处取最小值f(-2)=-16.画出函数的图象,结合函数的图象得-2m8时,函数f(x)总能取到最小值-16,故m的取值范围是-2,8. 答案: -2,8三、解答题(每小题10分,共20分)9.若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1) 求a,b的值.(2) 设函
6、数g(x)的导数g(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.【解析】(1) 由题设知f(x)=3x2+2ax+b,且f(-1)=3-2a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2) 由(1) 知f(x)=x3-3x,则g(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,即函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x-2时,g(x)0,当-2x0,当x1时,g(x)0,所以-2是g(x)的极值点,1不是g(x)的极值点.10.已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值.(2)若f(x)在
7、区间(0,e上的最大值为-3,求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0,+),当a=-1 时,f(x)=-x+ln x,f(x)=-1+=,令f(x)=0,得x=1.当0x0;当x1时,f(x)0.所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数.所以f(x)max=f(1)=-1.所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+)上的最大值为-1.(2) f(x)=a+,x,.若a-,则f(x)0,从而f(x)在上单调递增,所以f(x)max=f(e)=ae+10,不符合题意.若a0得a+0,结合x,解得0x-;令f(x)0得a+0,结合x,解得-xe.从而f(x)在上单调递增,
8、在上单调递减,所以f(x)max=f=-1+ln,令-1+ln=-3,得ln=-2,所以a=-e2,因为-e20,所以函数y=x-在(-,0),(0,+)内单调递增,没有极值点.函数y=根据指数函数的图象与性质可得,当x0时,函数y=单调递减,当x0时,函数y=单调递增,所以函数y=在x=0处取得极小值;函数y=-2x3-x,则y=-6x2-10,当x时,y0,函数单调递增,当x=时,函数取得极小值.2.(5分)用长为30 m的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 m),要求长方体的长与宽之比为32,则该长方体最大体积是()A.24 m3B.15 m3C.12 m3D.6 m3
9、【解析】选B.设该长方体的宽是x m,由题意知,其长是 m,高是= m(0x3),则该长方体的体积V(x)= x =-x3+x2,V(x)=-x2+x,由V(x)=0,得到x=2(x=0舍去),且当0x0;当2x3时, V(x)0,即体积函数V(x)在x=2处取得极大值V(2)=15,也是函数V(x)在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是15 m3.【变式备选】用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四周分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接成水箱,则水箱的最大容积为()A.120 000 cm3B.128 000 cm3C.150 000 cm3D.158 0
10、00 cm3【解析】选B.设水箱底长为x cm,则高为 cm.由得0x0;当x(80,120)时,y0)在x=1和x=2处取得极值,且极大值为-,则函数f(x)在区间(0,4上的最大值为()A.0B.-C.2ln 2-4D.4ln 2-4【解析】选D.函数的导数为f(x)=2ax+b+=.因为f(x)在x=1和x=2处取得极值,所以f(1)=2a+b+c=0,f(2)=4a+b+=0 ,因为f(x)极大值为-,a0,所以由函数性质知当x=1时,函数取得极大值为-,则f(1)=a+b+cln 1=a+b=-,由得a=,b=-3,c=2,0即f(x)=x2-3x+2ln x,f(x)=x-3+=,
11、由f(x)0得2x4或0x1,此时为增函数,由f(x)0得1x-,即函数在区间(0,4上的最大值为4ln 2-4.4.(10分)(2019成都模拟)已知函数f(x)=aln x-x2+x-.(1)当曲线f(x)在x=3时的切线与直线y=-4x+1平行,求曲线f(x)在处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值,并求当f(x)有极大值且极大值为正数时,实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=-2x+a-2.由题意得f(3)=-23+a-2=-4,得a=3.当x=1时,f(1)=-12+1-=-,f(1)=-21+3-2=2,故曲线f(x)在处的切线方程为y+=2,即8x-4y-17=0.(2)f
12、(x)=-2x+a-2=(x0),当a0时,f(x)0,所以f(x)在上单调递减,f(x)无极值.当a0时,由f(x)=0得x=,随x的变化,f(x)、f(x)的变化情况如下:xf(x)+0-f(x)极大值故f(x)有极大值,无极小值,极大值为f=aln-+-=aln-a,由aln-a0,结合a0可得a2e,所以当f(x)有极大值且极大值为正数时,实数a的取值范围是.5.(10分) (2020扬州模拟)已知函数f(x)=ln x-xex+ax(aR).(1)若函数f(x)在1,+)上单调递减,求实数a的取值范围.(2)若a=1,求f(x)的最大值.【解题指南】(1)由题意分离参数,将原问题转化
13、为函数求最值的问题,然后利用导函数即可确定实数a的取值范围.(2)结合函数的解析式求导函数,将其分解因式,利用导函数研究函数的单调性,最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最大值.【解析】(1)由题意知,f(x)=-(ex+xex)+a=-(x+1)ex+a0 在1,+)上恒成立,所以a(x+1)ex-在1,+)上恒成立.令g(x)=-+(x+1)ex,则g(x)=(x+2)ex+0,所以g(x)在1,+)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=2e-1,所以a2e-1.(2)当a=1时,f(x)=ln x-xex+x(x0),则f(x)=-(x+1)ex+1=(x+1),令m(
14、x)=-ex,则m(x)=-ex0,m(1)0满足m(x0)=0,即=.当x(0,x0),m(x)0,f(x)0;当x(x0,+)时,m(x)0,f(x)1时,f(x)0,f(x)单调递增,则f(x)的单调递增区间为(1,+);当0x1时,f(x)0,f(x)单调递减,则f(x)的单调递减区间为(0,1).(2)f(x)=,g(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=.令p(x)=3x2+(2b+3)x-1.因为a(1,2,所以f(x)的极小值点为a,则g(x)的极小值点为a.所以p(a)=0,即3a2+(2b+3)a-1=0,即b=,此时g(x)的极大值为g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3-=a-.因为a(1,2,所以a-2-=.故g(x)的极大值不大于.