1、第1节直线的方程最新考纲1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系知 识 梳 理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；范围：直线的倾斜角的取值范围是0，)(2)直线的斜率定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常
2、用小写字母k表示，即ktan_；斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k2直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线3.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式常用结论与微点提醒1直线的斜率k与倾斜角之间的关系00909090180
3、k0k0不存在k02.牢记口诀“斜率变化分两段，90是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(2)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()解析(1)当直线的倾斜角1135，245时，12，但其对应斜率k11，k21，k1k2.(2)当直线斜率为tan(45)时
4、，其倾斜角为135.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程yy0k(xx0)表示答案(1)(2)(3)(4)(5)2直线xy10的倾斜角为()A30 B45C120 D150解析由题得，直线yx1的斜率为1，设其倾斜角为，则tan 1，又0180，故45，故选B.答案B3如果AC0，且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限答案C4(2018舟山月考)已知A(3，5)，B(4，7)，C(1，x)三点共线，则x_解析A，B，C三点共线，kABkAC，x3.答案35(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的
5、直线方程为_解析当纵、横截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.答案3x2y0或xy506(2017金华调研)直线kxy2k40过定点P的坐标为_；若幂函数yf(x)也过点P，则f(x)的解析式为_解析直线kxy2k40可化为y4k(x2)，直线过定点P(2，4)，设幂函数yf(x)为yx，把P(2，4)代入，得42，2，即yf(x)x2.答案(2，4)f(x)x2考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)
6、为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_解析(1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)如图，kAP1，kBP，直线l的斜率k(，1，)答案(1)B(2)(，1，)规律方法直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)【训练1】 (2018嘉兴测试)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，) B.C. D.解析设直
7、线的倾斜角为，则有tan sin .因为sin 1，1，所以1tan 1，又0，)，所以0或，故选B.答案B考点二直线方程的求法【例2】 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (00；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，)(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0，12k)依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，S
8、min4，此时直线l的方程为x2y40.规律方法在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值【训练3】 (一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解法一设直线方程为1(a0，b0)，点P(3，2)代入得12，得ab24，从而SABOab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有A，B(0，23k)，SABO(23k)(1
9、212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立，即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.基础巩固题组一、选择题1直线xya0(a为常数)的倾斜角为()A30 B60C120 D150解析直线的斜率为ktan ，又因为0180，所以60.答案B2已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则直线l的方程是()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30解析圆x2(y3)24的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.答案D3直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D
10、.解析直线的斜率k，1k0，则倾斜角的范围是.答案B4(2018萧山月考)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. B C D.解析依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为.答案B5(2017浙江三市十二校联考)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是()A6x4y30 B3x2y30C2x3y20 D2x3y10解析因为抛物线y22x的焦点坐标为，直线3x2y50的斜率为，所以所求直线l的方程为y，化为一般式，得6x4y30.答案A6已知直线l的斜率为，在y轴上的截距
11、为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析直线x2y40的斜率为，直线l在y轴上的截距为2，直线l的方程为yx2，故选A.答案A7(2017浙江五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l1：axyb0和直线l2：bxya0有可能是()解析当a0，b0时，a0，b0.选项B符合答案B8若直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A1 B2 C4 D8解析直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，abab，即1，ab(ab)2224，当且仅当ab2时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小
12、值为4.答案C二、填空题9过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为1，即xya.则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案4x3y0或xy1010若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_解析当时，tan 1，k1.当时，tan 0，即k0，k，0)答案，0)11(2017温州调研)已知三角形的三个顶点A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为_；BC边上中线的方程为_解析BC的中点坐标为，BC边上中线所在直线方程为，即x13y50.故BC边上中线的方程为x
13、13y50(5x)答案x13y50x13y5012(2018金丽衢十二校联考)直线l：xy230(R)恒过定点_，P(1，1)到该直线的距离最大值为_解析已知直线方程转化为(x2)(y3)0，由求得定点(2，3)；点P(1，1)到直线l的距离最大值即为点P(1，1)到定点(2，3)的距离，即为.答案(2，3)13(2018湖州调研)直线l1：xy20在x轴上的截距为_；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转，则所得到的直线l2的方程为_解析对直线l1：xy20，令y0，得x2，即直线l1在x轴上的截距为2；令x0，得y2，即l1与y轴的交点为(0，2)，直线l1的倾斜角为135，直线l2的倾斜角为
14、1359045，l2的斜率为1，故l2的方程为yx2，即为xy20.答案2xy20能力提升题组14已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A4x3y30 B3x4y30C3x4y40 D4x3y40解析由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.答案D15(2018宁波调研)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()A. B1，0C0，1 D.解析由
15、题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0k1，即02x021，故1x0.答案A16已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2xy8(2x3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_解析设直线l与线段2xy8(2x3)的公共点为P(x，y)则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，设直线l的斜率为k.又kOA2，kOB.如图所示，可知k2.直线l的斜率的取值范围是.答案17设M，N，则M与N的大小关系为_解析设A(2 011，2 012)，B(2 012，2 011)，C(2 014，2 013)，则有MkAB，NkAC(如图所示)，则直线BD的倾斜角BDO和直线AC的倾斜角CEO均为锐角，且BDOCEO，所以kABkAC，即MN.答案M0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是_解析由题意可得SABCABOC1.(1)当直线yaxb与AB，BC相交时(如图)，由得yE，又易知xD，|BD|1，由SDBE得ba.(2)当直线yaxb与AC，BC相交时(如图)，同(1)可求得xG，xF，yMb，由SFCG(xGxF)|CM|得b1(0a0恒成立，b，即b.答案
