1、第三节 利用导数解决函数的极值、最值最新考纲 1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数的极值函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值.函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点 xb 附近
2、的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.常用结论1.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点.2.若函数在闭区间a，b的最值点不是端点，则最值点亦为极值点.一、思考辨析
3、(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值不一定比极小值大.()(2)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件.()(3)函数的极大值一定是函数的最大值.()(4)开区间上的单调连续函数无最值.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1.函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点C 设 f(x)的图象与 x 轴的 4 个交点从左至右依次为 x1，x2，x3，x4.当 xx1 时，f(x)0，f(x
4、)为增函数，当 x1xx2 时，f(x)0，f(x)为减函数，则 xx1 为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4 为极小值点，故选 C.2.设函数 f(x)2xln x，则()A.x12为 f(x)的极大值点B.x12为 f(x)的极小值点C.x2 为 f(x)的极大值点D.x2 为 f(x)的极小值点D f(x)2x21xx2x2(x0)，当 0 x2 时，f(x)0，当 x2 时，f(x)0，所以 x2 为 f(x)的极小值点.3.函数 yxex 的最小值是 .1e 因为 yxex，所以 yexxex(1x)ex.当 x1 时，y0；当 x1 时，y0，所以当 x1 时函数取得
5、最小值，且 ymin1e.4.函数 f(x)xaln x(a0)的极小值为 .aaln a 因为 f(x)xaln x(a0)，所以 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax(a0)，由 f(x)0，解得 xa.当 x(0，a)时，f(x)0；当 x(a，)时，f(x)0，所以函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a.考点 1 利用导数解决函数的极值问题 利用导数研究函数极值问题的一般流程 根据函数图象判断函数极值的情况 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数 f(x)
6、有极大值 f(2)和极小值 f(1)B.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D 由题图可知，当 x2 时，f(x)0；当2x1 时，f(x)0；当1x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值.可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.求已知函数的极值 已知函数 f(x)(x2)(exax)，当 a0 时，讨论 f(x)的极值情况.解
7、f(x)(exax)(x2)(exa)(x1)(ex2a)，a0，由 f(x)0 得 x1 或 xln 2a.当 ae2时，f(x)(x1)(exe)0，f(x)在 R 上单调递增，故 f(x)无极值.当 0ae2时，ln 2a1，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2a)ln 2a(ln 2a,1)1(1，)f(x)00 f(x)极大值极小值 故 f(x)有极大值 f(ln 2a)a(ln 2a2)2，极小值 f(1)ae.当 ae2时，ln 2a1，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，ln 2a)ln 2a(ln 2a，)f(x
8、)00 f(x)极大值极小值 故 f(x)有极大值 f(1)ae，极小值 f(ln 2a)a(ln 2a2)2.综上，当 0ae2时，f(x)有极大值a(ln 2a2)2，极小值 ae；当 ae2时，f(x)无极值；当 ae2时，f(x)有极大值 ae，极小值a(ln 2a2)2.求函数极值的一般步骤(1)先求函数 f(x)的定义域，再求函数 f(x)的导函数.(2)求 f(x)0 的根.(3)判断在 f(x)0 的根的左、右两侧 f(x)的符号，确定极值点.(4)求出具体极值.教师备选例题设函数 f(x)ln(x1)a(x2x)，其中 aR.讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由.解 f
9、(x)1x1a(2x1)2ax2axa1x1(x1).令 g(x)2ax2axa1，x(1，).当 a0 时，g(x)1，此时 f(x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，无极值点.当 a0 时，a28a(1a)a(9a8).a.当 0a89时，0，g(x)0，f(x)0.函数 f(x)在(1，)上单调递增，无极值点.b.当 a89时，0，设方程 2ax2axa10 的两根为 x1，x2(x1x2)，因为 x1x212，所以 x114，x214.由 g(1)10，可得1x114.所以当 x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(x1，x2)时，g(x)0，f
10、(x)0，函数 f(x)单调递减；当 x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增.因此函数有两个极值点.当 a0 时，0，由 g(1)10，可得 x11x2.当 x(1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减.所以函数有一个极值点.综上所述，当 a0 时，函数 f(x)有一个极值点；当 0a89时，函数 f(x)无极值点；当 a89时，函数 f(x)有两个极值点.已知函数极值求参数的值或范围(1)已知 f(x)x33ax2bxa2 在 x1 时有极值 0，则 ab .(2)若函数 f(x)
11、x33a2x2x1 在区间12，3 上有极值点，则实数 a 的取值范围是 .(1)7 (2)2，103 (1)由 题 意 得f(x)3x2 6ax b，则a23ab10，b6a30，解得a1，b3或a2，b9，经检验当 a1，b3 时，函数 f(x)在 x1 处无法取得极值，而 a2，b9 满足题意，故 ab7.(2)函数 f(x)在区间12，3 上有极值点等价于 f(x)0 有 2 个不相等的实根且在12，3 内有根，由 f(x)0 有 2 个不相等的实根，得 a2 或 a2.由 f(x)0 在12，3 内有根，得 ax1x在12，3 内有解，又 x1x2，103，所以 2a103，综上，a
12、 的取值范围是2，103.已知函数极值点或极值求参数的 2 个要领(1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：因为某点处的导数值等于 0 不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.教师备选例题若函数 f(x)exaln x2ax1 在(0，)上恰有两个极值点，则 a 的取值范围为()A.(e2，e)B.，e2C.，12D.(，e)D f(x)exax2a，(x0)由 f(x)0 得 a xex12x.令 g(x)xex12x(x0).由题意可知 g(x)a 在(0，)上恰有两个零点.又 g(x)ex（2x1）（x1
13、）（12x）2(x0)，由 g(x)0 得 0 x1，且 x12.由 g(x)0 得 x1.函数 g(x)在0，12，12，1 上递增，在(1，)上递减.又 g(0)0，g(1)e，结合图形(图略)可知 a(，e)，故选 D.1.若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex1 的极值点，则 f(x)的极小值为()A.1 B.2e3C.5e3D.1A 因为 f(x)(x2ax1)ex1，所以 f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因为 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex1 的极值点，所以2 是 x2(a2)xa10 的根，所以 a1，f(x)(x2x2)ex
14、1(x2)(x1)ex1.令 f(x)0，解得 x2 或 x1，令 f(x)0，解得2x1，所以 f(x)在(，2)上单调递增，在(2,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当 x1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值f(1)1.2.已知函数 f(x)x(xc)2 在 x2 处有极小值，则实数 c 的值为()A.6 B.2C.2 或 6 D.0B 由 f(2)0 可得 c2 或 6.当 c2 时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在 x2 处取得极小值；当 c6 时，结合图象(图略)可知，函数在 x2处取得极大值.故选 B.3.(2019长春市质量监测)若函数 f(x)(x2a
15、x3)ex 在(0，)内有且仅有一个极值点，则实数 a 的取值范围是()A.(，2 2B.(，2 2)C.(，3D.(，3)C f(x)(2xa)ex(x2ax3)exx2(a2)xa3ex，令 g(x)x2(a2)xa3.由题意知，g(x)在(0，)内先减后增或先增后减，结合函数g(x)的图象特征知，a22 0，a30，或a22 0，a30，解得 a3.故选 C.考点 2 用导数求函数的最值 求函数 f(x)在a，b上的最大值、最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b).(3)将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的为
16、最大值，最小的为最小值.(2019全国卷)已知函数 f(x)2x3ax2b.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)是否存在 a，b，使得 f(x)在区间0,1的最小值为1 且最大值为 1？若存在，求出 a，b 的所有值；若不存在，说明理由.解(1)f(x)6x22ax2x(3xa).令 f(x)0，得 x0 或 xa3.若 a0，则当 x(，0)a3，时，f(x)0；当 x0，a3 时，f(x)0.故 f(x)在(，0)，a3，单调递增，在0，a3 单调递减.若 a0，f(x)在(，)单调递增.若 a0，则当 x，a3(0，)时，f(x)0；当 xa3，0 时，f(x)0.故 f(x)在，a3，
17、(0，)单调递增，在a3，0 单调递减.(2)满足题设条件的 a，b 存在.()当 a0 时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以 f(x)在区间0,1的最小值为 f(0)b，最大值为 f(1)2ab.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 b1，2ab1，即 a0，b1.()当 a3 时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以 f(x)在区间0,1的最大值为 f(0)b，最小值为 f(1)2ab.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2ab1，b1，即 a4，b1.()当 0a3 时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为 fa3 a327b，最大值为 b 或 2ab.若a327b1，b
18、1，则 a33 2，与 0a3 矛盾.若a327b1,2ab1，则 a3 3或 a3 3或 a0，与 0a3 矛盾.综上，当且仅当 a0，b1 或 a4，b1 时，f(x)在0,1的最小值为1，最大值为 1.(1)讨论函数的单调性时，一要注意函数的定义域；二要注意分类的标准，做到不重不漏.(2)对于探索性问题，求出参数值后要注意检验.教师备选例题已知函数 f(x)ln xax(aR).(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值.解(1)f(x)1xa(x0)，当 a0 时，f(x)1xa0，即函数 f(x)的单调递增区间为(0，).当 a0 时，令
19、 f(x)1xa0，可得 x1a，当 0 x1a时，f(x)1axx0；当 x1a时，f(x)1axx0，故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，.综上可知，当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0，)；当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，.(2)当 01a1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a.当1a2，即 0a12时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)a.当 11a2，即12a1 时，函数 f(x)在上是增函数，在上是减函
20、数.又 f(2)f(1)ln 2a，所以当12aln 2 时，最小值是 f(1)a；当 ln 2a1 时，最小值为 f(2)ln 22a.综上可知，当 0aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 f(1)a；当 aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a.(2019郑州模拟)已知函数 f(x)1xx kln x，k1e，求函数 f(x)在上的最大值和最小值.解 f(x)x（1x）x2kxkx1x2.若 k0，则 f(x)1x2在上恒有 f(x)0，所以 f(x)在上单调递减.若 k0，则 f(x)kx1x2kx1kx2.()若 k0，则在上恒有kx1kx20.所以 f(x)
21、在上单调递减，()若 k0，由 k1e，得1ke，则 x1k0 在上恒成立，所以kx1kx20，所以 f(x)在上单调递减.综上，当 k1e时，f(x)在上单调递减，所以 f(x)minf(e)1ek1，f(x)maxf1e ek1.考点 3 利用导数研究生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x).(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0.(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题，结合实际问题作答.某商
22、场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 yax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克.(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解(1)因为当 x5 时，y11，所以a21011，解得 a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.则 f(x)10(x6)22(x3)(x
23、6)30(x4)(x6).于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0 f(x)极大值 42 由上表可得，当 x4 时，函数 f(x)取得极大值，也是最大值.所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值且最大值等于 42.即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.(1)利用导数研究生活中的优化问题的关键：理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.(2)注意：函数的定义域由实际问题确定，最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h
24、 米，体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率).(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域.(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.解(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元.又根据题意得 200rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3).由 h0，且 r0 可得 0r5 3，故函数 V(r)的定义域为(0,5 3).(2)因为 V(r)5(300r4r3)，所以 V(r)5(30012r2).令 V(r)0，解得 r15，r25(因为 r25 不在定义域内，舍去).当 r(0,5)时，V(r)0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数.由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8，即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大.
