1、 化归与转化思想【知识要点】1 进一步应用常用的等价转化与不等价转化方法，解决数学问题；2 体验陌生问题熟悉化、复杂问题简单化、抽象问题具体化过程；3感悟化归与转化思想的普遍存在性。【典型例题精析】例1(1)同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高这两个事实可以用数学语言描述为，若有限数列，满足，则 （结论用数学式子表示）(2)给定，定义乘积为整数的k叫“希望数”，求区间内的所有“希望数”的和【精析】（1）去掉一些高分即在数列中去掉最后几项，平均分将降低即数列所有项的平均数比去掉后几项后的平均数大。（2）
2、“希望数”实质上就是使为整数的整数k的值令，则有进一步转化为，求n 的取值，这里的n取2、3、10最后转化为求的和解答：（1） （2）2026【精评】有许多阅读理解题，给我们的第一印象是耳目一新，求解关键在于将陌生概念转化成熟悉知识，将自然语言转化成数学语言例2 设x、yR且3x2y6x，求xy的范围。【精析】 从不同角度来考虑：从纯代数角度看，设kxy，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。从数形结合角度看，xy是方程3x2y6x所表示曲线上的点到原点的距离的平方。再从已知条件与未知量的结构特征看，利用三角换元也可行。【精解】解法一：由
3、6x3x2y0得0x2。设kxy，则ykx，代入已知等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其对称轴为x3。由0x2得k0,4。所以xy的范围是：0xy4。解法二 ：由3x2y6x得(x1)1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。xy的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为xyk，代入椭圆中消y得x6x2k0。由判别式368k0得k4,所以xy的范围是：0xy4。解法三： 由3x2y6x得(x1)1，设，则xy12coscossin12coscoscos2cos0,4所以xy的范围是：0xy4。【精评】本题串联
4、了多个知识点，运用了多种解题方法，实现了多角度转化，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。例3. 求值：cot104cos10 【精析】本题求值必须解决两方面不和谐因素：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。解法一：cot104cos104cos10解法二cot104cos104cos10解法三cot104cos104cos10【精评】三角函数的化简、求值、证明问题，其恒等变形方向一般有：将切化弦或化同名函数；将不特殊角化特殊角或将不同角化为同角；将不同表达形式化成相同形式（如：高次化一次，分式化整式等）。例4 四面体的顶点和各棱的中点，共10个点，在其中取出4个
5、不共面的点，不同的取法有（ ）种 （A）150 （B）147（C）144 （D）141 【精析】我们考虑4点共面的情况，用间接排除法求解。【精解】从10个点中取出4个点的取法有种，而四点共面的取法可分以下三类：第一类，4个点恰好在四面体的同一面上有种；第二类，4个点恰好是一个平行四边形的顶点有3种（如平行四边形EFHM）；第三类，4个顶点恰为一条棱上的三点和相对棱的中点有6种；所以符合条件的取法数为36141种【精评】该题当然可以用直接法求解，但怎样合理分类令众多考生“雾里看花、不知所措”；现在正难则反，通过分析问题的对立面，使问题变得较为明朗、易解例5（05年湖北高考题）展开式中整理后的常数
6、项恒为 .【精析】三项式的展开，一般是设法转化成二项式来解决，考虑到本题是一个特殊的三项式，我们还可以有一些特殊的转化方法。当然，如果着眼于分式结构，我们还可以想方法把问题转化为求分子的某次方项的系数.【精解】解法一：=() (05，)如果第+1项为常数项，则 （0k，kN）则r2k=0 r=2k (r、kN)， 进而求出常数恒为.解法二：=对于二项式中，=只要求出的系数，问题就解决了.于是，令=5，则常数项为=.解法三：不妨设，则 =.设+1项为常数项，则=，则102=0=5. 常数恒为=.【精评】同样的转化方向，转化手法却可以不同，对问题分析越是深入，往往解题方法越是优良。例6. 已知f(
7、x)tanx，x(0, )，若x、x(0, )且xx，求证：f(x)f(x)f() 【精析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步实现转化。【证明】f(x)f(x)f() tanxtanxtan() x、x(0, ) 1cos(xx)2cosxcosx 1cosxcosxsinxsinx2cosxcosx cosxcosxsinxsinx1 cos(xx)1 由已知显然cos(xx)f()【精评】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。有这一类转化也可以是不等价的，每一步只要探究使结论成立的充分条件。ABCDMNS例7. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位
8、于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于NSC。求证：SC垂直于截面MAB。 【精析】 由三垂线定理容易证明SCAB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SCDM。【证明】由已知可得：SN底面ABC，ABCD，CD是斜线SC在底面AB的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面SDNC MDC就是截面MAB与底面所成的二面角由已知得MDCNSC又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt即 SCDM所以SC截面MAB。【精评】立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。【当堂反馈】1. f(x)是R
9、上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)等于（ ） A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.52.设f(x)3x2，则ff(x)等于 （ ） A. B. 9x8 C. x D. 3. 若m、n、p、qR且mna，pqb，ab0，则mpnq的最大值是（ ） A. B. C. D. 4. 设椭圆1 （ab0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于c，则椭圆的离心率为 （ ） A. B. C. D. 5. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA5，SB4，SC3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为
10、 （ ） A. B. 10 C. D. 6条件：或；条件：，则 （ ） A条件是条件的充分而非必要条件 B条件是条件的必要而非充分条件 C条件是条件的充分且必要条件 D条件是条件的非充分也非必要条件7已知则等于 （ ）（A）（B）（C）（D）8的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 （ ）A B C D9已知集合A=（x,y）|=m+1 ，B=（x,y）|（-1）x（m-1）y =15 ，当实数m为 时，AB =.10方程=3的解是 . 11已知且，当时，均有，则实数的取值范围是 12设函数 ，给出下列四个论断：它的周期为；在区间上是增函数；它的图象关于点成中心
11、对称；它的图象关于直线对称 请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题： （请用如下形式答题：） 13求不等式组的解集14在等差数列中，如果=25，且=，问数列前多少项的和最大？15已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线 （1）求椭圆的离心率； （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值 16如图，在正三棱柱ABC=A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：PC和NC的长 作业 化归与转化思想1设，
12、则是成立的 （ ）A充分条件，但不是必要条件； B必要条件，但不是充分条件；C充分且必要条件； D既不充分又不必要条件 2函数是 （ ）A周期为的奇函数； B周期为的偶函数；C周期为的奇函数； D周期为的偶函数 3已知，则= （ ）A1； B2； C； D1或2 4若 是各项为正的等比数列,且公比,则与的大小关系是 （ ）A； B；C； D不确定 JIHGFEDCBA5如图，在正ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、 I、J分别为AF、AD、BE、DB的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的余弦值为( )A0 B C D6 62004被49除所得余数为（ ）A
13、1 B43 C2 D487y=x2（1x）的单调递增区间为（ ）A0， B0，1 C（，01，） D（，0、，）8若是等差数列，是其前项和，则，中最小的是 （ ）A； B； C； D 9设是定义在实数集上以2为周期的奇函数，已知时，则在上 （ ）A是减函数，且； B是增函数，且；C是减函数，且； D是增函数，且 10在中，下列关系式中正确的是 （ ）A；B；C；D 11已知函数，则 12 将函数的图象按向量a(h,k)（其中，）平移后与的图象重合,则向量坐标 , 13直线l1：x+3y-7=0、l2：kx- y-2=0与x轴、y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k= 14棱长为1的正四面体的
14、外接球的体积是 15已知F1、F2分别是双曲线 =1（a0,b0）的左、右两焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在第一象限交于点P，若PF1F2=30，则双曲线的渐近线方程为 。16ABC的三个顶点到平面的距离分别是3，3，9，那么ABC的重心G到平面的距离为 17设不等式对满足的一切实数m都成立，求实数x的取值范围 18已知是三角形三内角，向量，且（1）求角；（2）若，求19已知数列满足： ， 求证：数列是等比数列，并求其通项公式 20如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC， F是PB的中点.（1）求证：DFAP；（2）在平面PAD上是否存在点G，使GF平
15、面PCB若存在，说明G点的位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由PFDCBA21若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的凸函数; （1）证明：定义在R上的二次函数是凸函数；（2）对于（1）中的二次函数，若,求取得最大值时函数的解析式；（3）定义在R上的任意凸函数,若，证明： 化归与转化思想当堂反馈1B 2C 3A 4B 5A 6B 7A 8D9m-4，-1，1，10x=1. 11 12 或 13x0x140，0，故前13项的和最大15（1）主要是将与共线这一条件进行转化方法一，令共线求解方法二，设AB的中点为C，利用点差法求出OC的斜率，由与共线
16、知OC的斜率等于方法一是把向量关系转化为坐标关系，方法二是把向量关系转化为几何意义（2）同样可以把向量关系转化为坐标关系来解结果为定值116要求P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线，应该把侧面A1C和侧面B1C放到同一个平面中解决如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PC=x，则P1C=x在RtMAP1中，由勾股定理得(3+x)2+22=29，求得x=2PC=P1C=2，NC=巩固练习1A 2D 3B 4A 5A 6D 7A 8B 9D 10B11 12 1
17、33 14 15y= 161或3或5 17构造函数一次函数由，得实数x的取值范围为18（1） 即, （2）由题知，整理得 或而使，舍去 19 依题意得： （n=1,2,）故数列是等比数列 20（1） 取AB的中点E，连接DE、FE、BD，则PAEF设PD=DC=a，易求得DE=，EF=PA=，DF=PB=， 由于DE2=EF2+DF2，故DFEF，进而DFPA （2）在线段AD上存在点G，使GF平面PCB且G点的位置AD中点 取AD中点G，连接PG、BG，则PG=BG，又F为PB的中点，故GFPB F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，连接GO，GO为GF在平面ABCD上的射影，
18、由 GOBC，得GFBC， BC、PB是平面PCB内的两条相交直线 所以，GF平面PCB 21证明：（1）任取x1 x2R,则2f()f(x1)+f(x2)=2a()2 + b+c a x12+bx1+c a x22+bx2+c =(x1+x2)22(x12+x22)= (x1x2)2 a0 2f()f(x1)+f(x2) 0 由定义得 y = f(x)是R上的凸函数 （2）解得 |f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| |f(1)| 1，|f(2)| 2,|f(3)| 3 |f(4)| |f(1)|+3|f(2)|+3
19、|f(3)| 16 a0时f(x)= ax2+bx+c开口向下， 当且仅当时取等号，代入上式得 f(x)= 4x2+15x12 （3） p q m n且pmnq 不妨设m = p+i, 其中i p+q = m+n mp = qn = i 由定义知，任意x1 x2R,有f(x1)+f(x2) 2f() 取x1 = p x2 = p+2则有f(p)+f(p+2) 2f(p+1) 变形得f(p) f(p+1) f(p+1) f(p+2) 同理有 f(p+1) f(p+2) f(p+2) f(p+3) f(p+2) f(p+3) f(p+3) f(p+4) f(p+4) f(p+5) f(p+5) f(p+6) f(p+k-2) f(p+k1) f(p+k1) f(p+k) 累加求和得：f(p)f(p+k1) f(p+1) f(p+k) 即 f(p)+ f(p+k) f(p+1)+ f(p+k1) 递推i次得f(p)+ f(p+k) f(p+1)+ f(p+k1) f(p+2)+f(p+k2) f(p+i)+f(p+ki) f(p)+ f(p+k) f(p+i)+f(p+ki) 令p+k = q,得f(p)+f(q) f(p+i) + f(qi) mp = qn = i f(p)+f(q) f(m)+f(n)