1、1.2函数、方程与不等式组合练必备知识精要梳理1.对于不等式ab,c0acbc;ab,c0acb0,cd0acbd.2.当a0,b0时,aba+b2,当且仅当a=b时取等号.3.二次函数的一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0),其图象是以x=-b2a为对称轴的抛物线;顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a0),(h,k)为顶点坐标;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),x1,x2为零点.4.若ax2+bx+c=0(a0)的两个不相等实根为x1,x2,则x1,2=-bb2-4ac2a(0),x1+x2=-ba,x1x2=ca.5.求二次不等式ax2+bx+c0(或f(x)恒成立
2、af(x)max;af(x)恒成立af(x)min.7.能成立问题的转化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.考向训练限时通关考向一不等式的性质与基本不等式1.(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()A.b-ac+aB.c2caD.|b|c0,b0,且a+b=1,则()A.a2+b212B.2a-b12C.log2a+log2b-2D.a+b23.(多选)(2020山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且ab0,则下列不等式中正确的是()A.log2(ab)log2b2B.ac2bc2C.ba112b4
3、.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是.5.(2020天津,14)已知a0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.考向二二次函数的图象与性质6.已知函数f(x)=-x2+4x,xm,5的值域是-5,4,则实数m的取值范围是()A.(-,-1)B.(-1,2C.-1,2D.2,57.(2020江西名校大联考,理6)已知函数f(x)=lnx,x1,-x2+ax-a2+1,x1在R上为增函数,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.1,+)C.(-,2D.2,+)8.(多选)(2020山东联考,9)已知函数f(x)=x2-2x+a有两个
4、零点x1,x2,以下结论正确的是()A.a1B.若x1x20,则1x1+1x2=2aC.f(-1)=f(3)D.函数y=f(|x|)有四个零点考向三二次函数与二次不等式9.已知函数f(x)=x2+6x+1,若关于x的不等式f(x)m在-5,-2上恒成立,则实数m的取值范围是.10.(多选)(2020江苏期末,3)已知函数f(x)=x2-4x+3,则f(x)0的充分不必要条件是()A.1,3B.1,3C.(-,13,+)D.(3,4)11.设对任意实数x-1,1,不等式x2+ax-3a0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.12,+C.(-,-12)(0,+)D.14,+12.(20
5、20四川高考模拟,理16)已知f(x)是R上的偶函数,且当x0时,f(x)=|x2-3x|,则不等式f(x-2)2的解集为.考向四二次函数、方程、不等式的综合13.已知在(-,1上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2,则实数t的取值范围是()A.-2,2B.1,2C.2,3D.1,214.已知二次函数f(x)=2ax2-ax+1(a0),若x1f(x2)C.f(x1)f(x2)D.与a值有关15.(多选)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是()A.方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要条件是mm|m
6、9B.方程x2+(m-3)x+m=0有一正一负根的充要条件是mm|m0C.方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的充要条件是mm0116.(2020安徽临泉一中月考,16)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间2,3上有最大值4和最小值1,设f(x)=g(x)x.若不等式f(2x)-k2x0在区间-1,1上恒成立,则实数k的取值范围是.1.2函数、方程与不等式组合练考向训练限时通关1.D解析(方法一)根据数轴可得cba|b|a|,对于A,因为cb,a0,所以c+ab,则c+acbb-a,即c+ab-a,故A错误;对于B,因为cba|b|a|,所以c2b2a2,且b2ab,所
7、以c2b2ab,且c2ab,故B错误;对于C,因为ba1a,则cb|a|,且c0,所以|b|c|a|c,故D正确.(方法二)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6ab=4,故B错误;cb=540,b0,a+1=2a+bb,a-b-1,2a-b2-1=12,故B正确;a+b=12ab,ab14,log2a+log2b=log2ablog214=-2,故C错误;a+b=12ab,2ab1,(a+b)2=a+b+2ab2,a+b2,故D正确.3.AC解析由ab0,得abb2,所以log2(ab)log2b2,故A正确;因为c20,当c2=0时,选项B不成立,故B不正确;由ab0,两边同乘
8、1b,得ab1,由ab0,两边同乘1a,得bab,函数y=12x为减函数,得12a0,则原式=t2+8t2t28t=24=4,当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=4.6.C解析f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4.当x=2时,f(x)max=f(2)=4.由f(x)=-x2+4x=-5,得x=5或x=-1.所以要使f(x)在m,5上的值域是-5,4,则-1m2.7.D解析若函数f(x)在R上为增函数,则在两段上都应为增函数,当x0,解得a1,故A正确;对于B,根据韦达定理有x1+x2=2,x1x2=a,所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=2a,故B正确;对于C,因
9、为f(-1)=3+a,f(3)=3+a,所以f(-1)=f(3)成立,故C正确;对于D,当a=0时,y=f(|x|)=|x|2-2|x|=|x|(|x|-2)=0有三根,x=0,2,故D错误.故选ABC.9.(-4,+)解析关于x的不等式f(x)f(x)max,由函数f(x)=x2+6x+1图象的对称轴为x=-3,知当x=-5时,f(x)max=f(-5)=-4.则实数m的取值范围是(-4,+).10.BD解析因为f(x)0即x2-4x+30的解集为x|x3,或x1,所以f(x)0的充分不必要条件应是x|x3,或x1的真子集,所以1,3,(3,4)满足条件.故选BD.11.B解析设f(x)=x
10、2+ax-3a,对任意实数x-1,1,不等式x2+ax-3a0恒成立,f(-1)=1-a-3a0,f(1)=1+a-3a0,即1-4a0,1-2a14,a12,故a12.故选B.12.1-172,01,34,7+172解析当x0时,f(x)=|x2-3x|,当0x3时,f(x)=-x2+3x,解f(x)2,即-x2+3x2,得x1或x2,0x1或2x3.当x3时,f(x)=x2-3x,解f(x)2,即x2-3x2,得3-172x3+172,3x3+172.当x0时,f(x)2解集为0x1或2x3+172.f(x)是R上的偶函数,当x0时,f(x)2解集为-3+172x-2或-1x0.f(x)2
11、解集为-3+172x-2或-1x1或2x3+172.f(x-2)2的解集为1-172,01,34,7+172.13.B解析由于f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t,又因为y=f(x)在(-,1上是减函数,所以t1.则在区间0,t+1上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的x1,x20,t+1,都有|f(x1)-f(x2)|2,只需1-(-t2+1)2,解得-2t2.又因为t1,所以1t2.14.C解析由题意知该二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=14.因为x1x2,x1+x2=0,所以x10,且|x1|=|x2|.当
12、x1,x2在对称轴的两侧时,14-x1x2-14,即x2离对称轴近,故f(x1)f(x2).当x1,x2都在对称轴的左侧时,由单调性知f(x1)f(x2).综上,f(x1)f(x2).15.BCD解析在A中,由=(m-3)2-4m0得,m1或m9,故A错误;在B中,当x=0时,函数y=x2+(m-3)x+m的值为m,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是mm|m0,m0,解得0m1,故C正确;在D中,由=(m-3)2-4m0得,1m9,m|1m1,故D正确.故选BCD.16.(-,0解析g(x)=a(x-1)2+1+b-a,由a0,得g(x)在区间2,3上是增函数,故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.由题意得f(x)=g(x)x=x+1x-2,所以f(2x)-k2x0,即2x+12x-2k2x,所以12x2-212x+1k.令t=12x,因为x-1,1,所以t12,2.即kt2-2t+1=(t-1)2,所以(t-1)20,则k的取值范围是(-,0.