1、2018 年衡阳市一中下学期高二第一次月考文科数学试题命题人：欧小春审题：游小春一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1. 平面内有两个定点 F1 , F2 和一动点M ，设命题甲： MF1 + MF2 是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（B）A充分但不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2. 命题“若a = p，则tan a = 1 ”的逆否命题是（ C）4A.若a p，则tan a 1B. 若a = p，则tan a 1C. 若tan a 1，则a p43
2、.下列命题中的假命题是(CD. 若tan a 1，则a = p)Ax0R，lg x00CxR，x30Bx0R，tan x01DxR，2x04444. 已知命题p ：x 0 p ， sin x = 2 cos x ，命题q ：若 a2b2，则 ab，下 ， 2 列命题为真命题的是（B）A. p qB. p qC. p qD. p q解：命题 p 为真命题；当 a=1，b=2 时，a2b2 成立，但 ab 不成立，故命题 q 为假命题，命题 pq 为真命题，故选：B5. 已 知 命 题 p: “ x 1,2,x2 - a 0 ” , 命 题 q: “$x0 R ,00x 2 + 2ax + 2 -
3、 a = 0”.若命题“( p)q”是真命题,则实数 a的取值范围是（A）A. a 1B. a 2或1 a 2C. a -2或a = 1D. - 2 a 1解析过程：本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、全称命题与特称命题. 因为x1,2,x2a0，所以 p: ，p：a1;因为x0 R, 2ax0 2 a 0 ， 所以, 则 q： ,因为命题“(p)q”是真命题,所以p与 q均为真命题， 则 ，所以 a126. 若椭圆 x35316y 2 += 1过点（2， 3 ），则其焦距为（D）b25A.2B.2C. 4D. 417. 如图，把椭圆 x2 + y2 = 的长轴 AB 分成8 等份，过每个
4、分点作1612x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则 P1F + P2 F + P3 F + P4 F + P5 F + P6 F + P7 F=(B)3A. 48B.28C. 8D. 328. 已知点 p（4，3）在双曲线 C:（C）x - y2 = 12a2上， 则此双曲线的离心率是A. 2B. 2 55C.5D.322229. 已知椭圆 C: x + y42= 1 ，过点 P(1，1)作直线交椭圆于 A，B 两点，弦 AB 恰好被 P点平分，则这条弦所在的直线方程是(D)A x + 2 y +1
5、= 0C 5x - 3 y -13 = 0B 5x + 3y +13 = 0D x - 2 y - 3 = 010. 在平面直角坐标系 xOy中，ABC上的点 A，C的坐标分别为( 22，0 ,0)，( 2x22y2，0 ,0)，若点 B在椭圆+168= 1 上，则sin A + sin C sin(A + C )(A)2A.B.2C. 5D. 323511. 设F1，F2 为双曲线x2 - y2 =1169的两个焦点，点 在双曲线上，且满足F PF = 600 ，则 DF PF的面积为 （C）1212333A. 3B. 6C. 9D.912. 如图，椭圆与双曲线有公共焦点 F1，F2，它们在
6、第一象限的交点为 A，且 AF1AF2 ，AF1F230，则椭圆与双曲线 的离心率之积为( A )3D.2 3.A2B 1C. 2解析：选 A设椭圆的长轴长为 2a1，双曲线的实轴长为 2a2，焦距为 2c, 由椭圆与双曲线的定义可知，|AF1|AF2|2a1,|AF1|AF2|2a2,在 RtAF1F2 中，AF1F230，13则|AF2| |FF|21c，|AF|1 |F1F2| 3c,22所以 2a1( 31)c,2a2( 31)c，c2即 e1 c231，e2 ，a131a23122所以 e1e2312,即椭圆与双曲线的离心率之积为 2.二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
7、 20 分.请把正确答案写在答题纸上.）13. 已知 f (x) x2 + x - m ，如果 f (1)0 是假命题，则实数 m 的取值范围是 m 2 x 214. 已知椭圆C : a 2+ y 2b 2= 1（ a b 0）的左焦点为 F ，右顶点为 A ，上顶点为 B ， 若 AB BF , 则称其为“黄金椭圆”， 那么“ 黄金椭圆” 的离心率为5 -1215.已知圆C ：(x + 4)2 + y2 = 9,圆C : (x - 4)2 + y2 = 1，动圆C 与定圆C C都外切则122动圆C3 的圆心 M 的轨迹方程为x3-=y21（x1）151， 22216.已知点P（m, n）是椭
8、圆 x + y43= 1 上的一个动点，则m2+ n2- 2m 的取值范围是 0，8三解答题（本大题共 6 小题，17 小题 10 分，其它各小题每题 12 分，共 70 分.） 17（本题 10 分）已知；不等式恒成立，若是的必要条件，求实数的取值范围.解：,即,是的必要条件,是的充分条件,不等式对恒成立, 对恒成立,当且仅当时,等号成立.18. （ 本题 12 分）已知m R, 命题P: 对 x 0，1, 不等式2x - 2 m2 - 3m恒成立;命题q : $x -1,1,使得m ax成立.(1) 若 P 为真命题,求 m 的取值范围;(2) 当a = 1时,若p q 假,p q为真,求
9、 m 的取值范围.解析过程：(1)对任意 x0,1,不等式 2x2m23m 恒成立,2m23m,解得 1m2.(2)a=1 时,存在 x1,1,使得 max 成立.m1.p 且 q 为假,p 或 q 为真,p 与 q 必然一真一假, 或 , 解得 1m2 或 m1.m 的取值范围是(,1)(1,2.219.（本题 12 分）已知椭圆： x2椭圆于 A、B 两点.（1） 求弦 AB 的长（2） 求 OAB 的面积.+ y2= 1 ，过左焦点 F 作倾斜角为3p 的直线l 交4解析：（1） 423（2） 23x2y220.（本题 12 分） 已知椭圆+a2b2= 1（ a b 0 ）的左右焦点分别
10、为F1，F2 ，左顶点为 A，若 F F =2，椭圆的离心率为e = 11 22（1） 求椭圆的标准方程（2） 若 P 是椭圆上的任意一点，求 PF1 PA的取值范围解：（1）由题意，|F1F2|=2，椭圆的离心率为 e= 123c=1，a=2，b=（2）设 P (x0 , y0 )，则，椭圆的标准方程为 x + y = 12243A（2，0），F1（1，0）， PF PA =（1 x ）（2 x ）+ y2 = 1 x 2 + 3x+ 5 = 0 ，10004 00由椭圆方程得2 x0 2，二次函数开口向上，对称轴 x=62 当 x0 =2 时，取最小值 0，当 x0 =2 时，取最大值 1
11、2 PF1 PA的取值范围是0，1221.（本题 12 分）已知双曲线 C：的左、右焦点分别为F1、F2，直线 l 过F2且与双曲线交于 A、B 两点(1若 l 的倾斜角为 900 ，F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2设 b =3，若 l 的斜率存在，且|AB| = 耀，求 l 的斜率21.解：(1lnF AB 是等边三角形，若 的倾斜角为2，1把 x = c =1 t b2代入双曲线的方程可得点 A 的纵坐标为b2，b22 1tb2由 tanAF F = tan n = 3 =，求得b2 = 2，b =2，1 263故双曲线的渐近线方程为 y = bx =2x，即双曲线的渐近
12、线方程为 y = 2x(2设 b =3，则双曲线为x2 y2 = 1，F(2h0，y232若 l 的斜率存x2 -= 1b2在，设 l 的斜率为k，则 l 的方程为y 0 = k(x 2，即y = kx 2k，y = kx 2k联立 x2 y2 = 1 ，可得(3 k2x2 t 耀k2x 耀k2 3 = 0，3由直线与双曲线有两个交点，则 3 k2 G 0，即 k G 3= 36(1 t k2 香 0x t x = 耀 k2 ，x x= 耀k2t312k2312k231 t k2|AB| =1 t k2= |x1 x2| =1 t k2(x1 t x22 耀x1 x2( 耀k2 2 耀 耀k2
13、t3k23k23= 耀，5化简可得，5k耀 t 耀2k2 27 = 0，解得k2 = 3，求得 k = 155l 的斜率为 15522. （ 本 题 12 分 ）已 知 直 线l : y = kx +3与 y 轴 的 交 点 是 椭 圆2C : x2 + ym= 1(m 0)的一个焦点.（1） 求椭圆 C 的标准方程；（2） 若直线 l 与椭圆 c 交于 A，B 两点，是否存在 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 o ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由3解析：（1）因为直线l : y = kx +与 y 轴的交点坐标为(0，3)2所以椭圆C：x2 + ym= 1(m 0)的一个焦点坐标F（0，3），所以椭圆的半焦3距 C =，若1 = m + 3, m = -2 0，不合题意；若m = c2 +1 = 3 +1 = 4，符合题意 .故所求椭圆 C 的方程为y2 + 2 =x142（ 2 ） 将直线方程y = kx +代入椭圆方程 C:y + x2 = 1 4并整理得3(k 2 + 4)x2 + 23x -1 = 0 （*）设点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )，由韦达定理得：假设以线段 为直径的圆恰好经过坐标原点， 则 ，即 又 ，于是，解得 ，经检验知：此时（*）式，适合题意. 故存在 ，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点
