1、题型强化练6模拟综合练(A)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京平谷二模,1)已知集合A=-1,0,1,B=x|x2baB.bcaC.abcD.cab6.(2020浙江新高考名校高三联考,7)数学与文学之间存在着奇妙的联系,诗中有回文诗,如“山东落花生花落东山,西湖回游鱼游回湖西”,倒过来读,仍然是原句.数学上也有这样一类数,如66,202,3 773,34 543,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,我们称这样的数为“回文数”,现用数字1,2,3,4组数(可重复用),则组成的五位“回文数”的个数为()
2、A.24B.28C.48D.647.(2020北京怀柔高三适应性训练,10)“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法.在公元263年左右,由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积,进而求.当时刘徽就是利用这种方法,把的近似值计算到3.141 5和3.141 6之间,这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据.为此,刘徽把它概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”.根据“割圆术”,若用正二十四边形来估算圆周率,则的近似值是()(精确到0.01)(参考数据sin 150.258 8)A.3.05B.3.10C.3.11D.3.
3、148.(2020山东潍坊二模,8)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A(点A在第一象限),点B在双曲线C的渐近线上,且BFOA,若ABOB=0,则双曲线C的离心率为()A.233B.2C.3D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.某省新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增
4、确诊人数按日期顺序排列构成数列an,an的前n项和为Sn,则下列说法中错误的是()A.数列an是递增数列B.数列Sn是递增数列C.数列an的最大项是a11D.数列Sn的最大项是S1110.已知ABC的面积为3,在ABC所在的平面内有两点P,Q,满足PA+2PC=0,QA=2QB,记APQ的面积为S,则下列说法正确的是()A.PBCQB.BP=13BA+23BCC.PAPC0D.S=411.(2020山东菏泽一模,11)已知函数f(x)=Asin(x+4)A0,0,01,b0,且1a-1+1b=1,则a+b的最小值是.15.已知函数f(x)=-x2+2x-1,x1,|x-1|,x1,若f(a2-
5、4)f(3a),则实数a的取值范围是.16.在三棱锥D-ABC中,CD底面ABC,ACBC,AB=BD=5,BC=4,则此三棱锥的外接球的表面积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020山东省实验中学信息卷,17)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,a=2.设F为线段AC上一点,CF=2BF.有下列条件:c=2;b=23;a2+b2-3ab=c2.请从这三个条件中任选两个,求CBF的大小和ABF的面积.18.(12分)(2020山东青岛三模,18)已知an为等差数列,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数
6、,且a1,a2,a3中的任何两个数都不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从a1=2,a1=1,a1=3的三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的数列an存在;并在此存在的数列an中,试解答下列两个问题:(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=(-1)n+1an2,求数列bn的前n项和Tn.19.(12分)(2020山东滨州三模,19)在如图所示的圆柱O1O2中,AB为圆O1的直径,C,D是AB的两个三等分点,EA,FC,GB都是圆柱O1O2的母线.(1)求证:FO1平面ADE;(2)设BC=1,已知直线AF与平面ACB所成的角为30,求二面角A
7、-FB-C的余弦值.20.(12分)(2020河南名校联考,20)中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线C:x2=4y的焦点关于直线y=x对称,且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为(2,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点(0,-2)的直线l(直线的斜率k存在且不为0)交E于A,B两点,交x轴于点P,点A关于x轴的对称点为D,直线BD交x轴于点Q.试探究|OP|OQ|是否为定值?请说明理由.21.(12分)(2020山东威海三模,21)已知函数f(x)=(3x-4)ex.(1)求证:当x0时,y=f(x)的图象位于直线x+y+4=0上方;(2)设函数h(x)=f(x)+ex(x2-3x+5)-
8、a,若曲线y=h(x)在点M处的切线与x轴平行,且在点N(t,h(t)处的切线与直线OM平行(O为坐标原点).求证:ta-2e13-1.22.(12分)(2020江西师大附中三模,20)在全球抗击新冠肺炎疫情期间,我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品,保障抗疫一线医疗物资供应,在国际社会上贏得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时,狠抓质量管理,不定时抽查口罩质量,该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个,将其质量指标值分成以下五组:100,110),110,120),120,130),130,140),140,150,得到如下频率分布直方图.(1)规
9、定:口罩的质量指标值越高,说明该口罩质量越好,其中质量指标值低于130的为二级口罩,质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩,再从中抽取3个,记其中一级口罩个数为X,求X的分布列及数学期望;(2)在2020年“五一”劳动节前,甲,乙两人计划同时在销售该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单“秒杀”抢购,其中每个订单由n(n2,nN*)个该型号口罩构成.假定甲、乙两人在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为n2,2cosnn,记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X,Y.求X的分布列及数学期望E(X);求当Y的数学期望E(Y
10、)取最大值时正整数n的值.题型强化练6模拟综合练(A)1.C解析集合A=-1,0,1,B=x|x21=x|-1x1,所以AB=x|-1x1.2.B解析z=a+i1-i=(a+i)(1+i)(1-i)(1+i)=a-12+a+12i,又复数在复平面内对应的点在第二象限内,a-120,得-1a0,不满足题意,故C错误.则函数f(x)的解析式可能是f(x)=(4x+4-x)log4|x|.4.C解析由题意,GDP的平均增长量为99.09-68.895-1=7.55万亿.5.D解析由题知f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x0时,f(x)=2x(xln2+1),即f(x)
11、0在0,+)上恒成立,所以f(x)在(0,+)内单调递增.因为b=-flog312=f-log312=f(log32),且0log32log351,所以cab.6.D解析若五位“回文数”仅由1个数字组成,则“回文数”的个数为C41;若五位“回文数”由2个数字组成,则“回文数”的个数为C42(A22C21+C21);若五位“回文数”由3个数字组成,则“回文数”的个数为C43A33.由分类加法计数原理知,组成的五位“回文数”的个数为C41+C42(A22C21+C21)+C43A33=64.7.C解析设圆的半径为r,以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形,且顶角为36024=15,
12、所以正二十四边形的面积为2412rrsin15=12r2sin15,所以12r2sin15=r2,解得=12sin153.11.8.A解析如图所示,设双曲线的半焦距为c,渐近线方程为y=bax,则点F(c,0),Ac,bca,设点Bx0,-bx0a,BFOA,kOA=kBF,即ba=-bx0ax0-c,解得x0=c2,Bc2,-bc2a.AB=-c2,-3bc2a,OB=c2,-bc2a.又ABOB=0,-c24+3b2c24a2=0,可得a2=3b2.c2=a2+b2,a2=3(c2-a2),即3c2=4a2,离心率e=ca=233.9.ABD解析因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增
13、确诊人数,即a7a8,所以an不是递增数列,故选项A错误;因为2月23日新增确诊病例数为0,所以S33=S34,所以数列Sn不是递增数列,故选项B错误;因为1月31日新增病例数最多,从1月21日算起,1月31日是第11天,所以数列an的最大项是a11,故选项C正确;数列Sn的最大项是最后项S35,故选项D错误.10.BD解析由PA+2PC=0,QA=2QB,可知点P为AC的三等分点,点Q为AB延长线的点,且B为AQ的中点,如图所示:对于A,点P为AC的三等分点,点B为AQ的中点,所以PB与CQ不平行,故A错误;对于B,BP=BA+AP=BA+23AC=BA+23(BC-BA)=13BA+23B
14、C,故B正确;对于C,PAPC=|PA|PC|cos=-|PA|PC|0,故C错误;对于D,设ABC的高为h,SABC=12|AB|h=3,即|AB|h=6,则APQ的面积SAPQ=12|AQ|23h=122|AB|23h=236=4,故D正确.11.ABD解析由图可知,A=2,T4=,所以T=4=2,解得=12,故f(x)=2sin12x+4.因为图象过点C(0,1),所以1=2sin4,即sin4=12.因为08,所以041,b0,且1a-1+1b=1,a+b=a-1+b+1=(a-1+b)1a-1+1b+1=1+a-1b+ba-1+1+13+2a-1bba-1=5,当且仅当a-1=b,即
15、a=3,b=2时取等号,故a+b的最小值为5.15.(-,-1)(4,+)解析f(x)=-x2+2x-1,x1,|x-1|,x1,即f(x)=-x2+2x-1,x1,x-1,x1,如图所示,画出函数图象,根据图象知函数单调递增,因为f(a2-4)f(3a),则a2-43a,解得a4或a-1,所以实数a的取值范围是(-,-1)(4,+).16.34解析由题意,在三棱锥D-ABC中,CD底面ABC,ACBC,AB=BD=5,BC=4,可得AC=CD=52-42=3,故三棱锥D-ABC的外接球的半径R=32+42+322=342,则其表面积为43422=34.17.解选,则a=c=2,b=23.由余
16、弦定理可得cosABC=a2+c2-b22ac=-12.又ABC(0,),所以ABC=23,所以A=C=6.在BCF中,由正弦定理CFsinCBF=BFsinC,且CF=2BF,可得sinCBF=22.又CBFCBA=23,所以CBF=4.所以ABF=AFB=512,所以AF=AB=2.所以SABF=1222sin6=1.选,因为a=2,b=23,a2+b2-3ab=c2,所以c=2.由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=32.又C(0,),所以C=6.所以A=C=6,ABC=-A-C=23.在BCF中,由正弦定理CFsinCBF=BFsinC,且CF=2BF,可得sinCBF=22
17、,又CBFCBA=23,所以CBF=4,所以ABF=AFB=512,所以AF=AB=2.所以SABF=1222sin6=1.选,由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=32.又C(0,),所以C=6.因为a=c,所以A=C=6,所以ABC=-A-C=23.在BCF中,由正弦定理CFsinCBF=BFsinC,且CF=2BF,可得sinCBF=22,又CBFCBA=23,所以CBF=4.所以ABF=AFB=512,所以AF=AB=2.所以SABF=1222sin6=1.18.解(1)若选择条件a1=2,则放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列an都不存在.若选择条件a1=1,则放在第一
18、行第二列,结合条件可知a1=1,a2=4,a3=7,则an=3n-2,nN*.若选择条件a1=3,则放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列an都不存在.综上可知an=3n-2,nN*.(2)由(1)知,bn=(-1)n+1(3n-2)2,当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+bn=a12-a22+a32-a42+an-12-an2=(a1+a2)(a1-a2)+(a3+a4)(a3-a4)+(an-1+an)(an-1-an)=-3(a1+a2+a3+an)=-3n(1+3n-2)2=-92n2+32n.当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-92(n-1)2+32(n-1)+(3n-2)2=
19、92n2-32n-2.综上可得,Tn=-92n2+32n,n为偶数,92n2-32n-2,n为奇数.19.(1)证明连接O1C,O1D,因为C,D是半圆AB的两个三等分点,所以AO1D=DO1C=CO1B=60.又O1A=O1B=O1C=O1D,所以AO1D,CO1D,BO1C均为等边三角形.所以O1A=AD=DC=CO1,所以四边形ADCO1是平行四边形.所以CO1AD.又因为CO1平面ADE,AD平面ADE,所以CO1平面ADE.因为EA,FC都是圆柱O1O2的母线,所以EAFC.又因为FC平面ADE,EA平面ADE,所以FC平面ADE.又CO1,FC平面FCO1,且CO1FC=C,所以平
20、面FCO1平面ADE.又FO1平面FCO1,所以FO1平面ADE.(2)解连接AC.因为FC是圆柱O1O2的母线,所以FC圆柱O1O2的底面,所以FAC即为直线AF与平面ACB所成的角,即FAC=30.因为AB为圆O1的直径,所以ACB=90.在RtABC中,ABC=60,BC=1,所以AC=BCtan60=3.所以在RtFAC中,FC=ACtan30=1.(方法一)因为ACBC,又因为ACFC,且BCFC=C,所以AC平面FBC.又FB平面FBC,所以ACFB.在FBC内,作CHFB于点H,连接AH.因为ACCH=C,AC,CH平面ACH.所以FB平面ACH.又AH平面ACH,所以FBAH.
21、所以AHC就是二面角A-FB-C的平面角.在RtFBC中,CH=FCBCFB=22.在RtACH中,ACH=90,所以AH=AC2+CH2=142,所以cosAHC=CHAH=77.所以二面角A-FB-C的余弦值为77.(方法二)以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,1,0),F(0,0,1),所以AB=(-3,1,0),AF=(-3,0,1).设平面AFB的法向量为n=(x,y,z),则ABn=0,AFn=0,即-3x+y=0,-3x+z=0,令x=1,则y=z=3,所以平面AFB的一个法向量为n=(1,3,3
22、).又因为平面BCF的一个法向量m=(1,0,0),所以cos=mn|m|n|=17=77,所以二面角A-FB-C的余弦值为77.20.解(1)因为椭圆E的一个焦点与抛物线C:x2=4y的焦点关于直线y=x对称,所以椭圆E的右焦点为(1,0).所以c=1.又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为(2,0),所以a=2.又b2=a2-c2=3,所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1.(2)设直线l的方程为y=kx-2,k0,则点P2k,0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则点D(x1,-y1),联立直线l与椭圆E的方程可得x24+y23=1,y=kx-2,化简得(3+4k2)x2-16kx+4=
23、0,所以有=48(4k2-1)0,即k214,且x1+x2=16k3+4k2,x1x2=43+4k2,即直线BD的方程为y+y1y2+y1=x-x1x2-x1.令y=0,得点Q的横坐标为xQ=x1y2+x2y1y1+y2=2kx1x2-2(x1+x2)k(x1+x2)-4,代入得,xQ=8k-32k16k2-4(3+4k2)=-24k-12=2k,所以|OP|OQ|=|xPxQ|=2k2k=4,所以|OP|OQ|为定值4.21.(1)证明由题意知,即证当x0时,ex(3x-4)+x+40恒成立.令g(x)=ex(3x-4)+x+4,则g(x)=ex(3x-1)+1,g(x)=ex(3x+2),
24、g(x)0在(0,+)内恒成立,g(x)在(0,+)内单调递增,g(x)g(0)=0,g(x)在(0,+)内单调递增.g(x)g(0)=0.当x0时,f(x)的图象始终在直线x+y+4=0上方.(2)解h(x)=ex(x2+1)-a,h(x)=ex(x+1)2.设M(x0,y0),则h(x0)=ex0(x0+1)2=0,x0=-1.M-1,2e-a,kOM=a-2e,h(t)=et(t+1)2=a-2e.要证ta-2e13-1,即证(t+1)3a-2e,即证(t+1)3et(t+1)2,即证t+1et.下面证明exx+1.令F(x)=ex-1-x,F(x)=ex-1.当x0时,F(x)0,x0时,F(x)0,所以f(t)在区间0,16内单调递增.当t16,12时,f(t)0,所以f(t)在区间16,12上单调递减.所以当t=16,即n=6时,f(t)取最大值,所以f(t)f16=3+6.所以E(Y)取最大值时,n的值为6.
