1、章末复习课一、等差(比)数列的基本运算1数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小2通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养例1在等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解(1)设数列an的公比为q，由已知得162q3，解得q2，an22n12n，nN*.(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532.设数列bn的公差为d，则有解得所以bn1612
2、(n1)12n28，nN*.所以数列bn的前n项和Sn6n222n，nN*.反思感悟在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用跟踪训练1已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)在(1)的条件下，若a10，求Sn.解(1)因为数列an的公差d1，且1，
3、a1，a3成等比数列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2)因为a10，所以a12，所以Sn2n，nN*.二、等差、等比数列的判定1判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列2通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养例2已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求数列an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a
4、33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列理由如下：由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1，nN*.反思感悟判断和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n1的任意自然数，验证an1an为与正整数n无关的常数(2)中项公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列. 若aan1an1(nN*，n2且an0)，则an为等比数列(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列(4)前n项和公
5、式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列；SnAqnA(A，q为常数，且A0，q0，q1，nN*)an是公比不为1的等比数列跟踪训练2已知数列an满足a1，且当n1，nN*时，有.(1)求证：数列为等差数列；(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由(1)证明当n2时，由得an1an4an1an，两边同除以an1an，得4.所以数列是首项5，公差d4的等差数列(2)解由(1)得(n1)d4n1，所以an，所以a1a2，假设a1a2是数列an中的第t项，则at，解得t11N*，所以a1a2是数列an中的第11项三、等差、等比数列的性质及应用1
6、等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的性质，利用性质求数列中某一项等试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档2借助等差、等比数列的性质及应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养例3(1)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示数列an的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是()A21 B20 C19 D18答案B解析由a1a3a5105得，3a3105，a335.同理可得a433，da4a32，ana4(n4)(2)412n.由得n20.使Sn取得最大值的n是20.(2)记等比数列an的前n项积为Tn(n
7、N*)，已知am1am12am0，且T2m1128，则m_.答案4解析因为an为等比数列，所以am1am1a，又由am1am12am0(am0)，从而am2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积T2m1a，则22m1128，故m4.反思感悟等差数列等比数列若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则aman2ap若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则amanaam，amk，am2k，仍是等差数列，公差为kdam，amk，am2k，仍是等比数列，公比为qk若an，bn是两个项数相同的等差数列，则panqbn仍是等差数列若an，
8、bn是两个项数相同的等比数列，则panqbn仍是等比数列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等差数列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比数列(q1或q1且m为奇数)若数列an的项数为2n，则S偶S奇nd，若数列an的项数为2n，则q若数列an的项数为2n1，则S奇S偶an1，若数列an的项数为2n1，则q跟踪训练3(1)等差数列an的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为119，则公差d，的值分别是()A8， B9， C9， D8，答案D解析设S奇a1a3a15，S偶a2a4a16，则有S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a16a15)8d，.由解得S奇288，S偶352.因此d
9、8，.(2)在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列的前13项和为()A13 B26C52 D156答案B解析3(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，S1326.四、数列求和1数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题形式出现，难度中等2通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养例4已知数列an是n次多项式f(x)a1xa2x2anxn的系数，且f(1).(1)求数列an的通项公式；(2)求f，并说明f2.解(1)设f(1)a1a2anSn，则anSnSn1n，n2，当n1时，a11，S11成立所以ann(nN*)(2)由(1)知f(x)x2x2nxn，所以f23n，f23(n1)n，由得fn1，所以f20，求使得Snan的n的取值范围解(1)设an的公差为d.由S9a5，即9a5a5，所以a50，得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n，nN*.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0，故Snan等价于(n5)d，化简得n211n100，解得1n10，所以n的取值范围是n|1n10，nN*