1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 三十二等比数列及其前n项和30分钟60分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a10且q0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.2.已知an是等比数列,a1=1,a3=2,则=
2、()A.1B.2C.4D.8【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为a1=1,a3=2,所以q2=2.则=q4=4.3.在等比数列an中,an0,若a1a5=16,a4=8,则a5=()A.16B.8C.4D.32【解析】选A.设等比数列an的公比为q0,因为a1a5=16,a4=8,所以q4=16,a1q3=8,解得a1=1,q=2.则a5=124=16.4.已知数列an为等比数列,且a2a6+2=,则tan(a3a5)=()A.B.-C.-D.【解析】选A.由等比数列an的性质可得:a2a6=a3a5=,所以a2a6+2=3a3a5,所以a3a5=.所以tan(a3a5)=tan=.5
3、.(2019马鞍山模拟)等比数列an的前n项和为Sn =32n-1+r,则r的值为()A.B.-C.D.-【解析】选B.当n2时,an=Sn-Sn-1=32n-1+r-32n-3-r=832n-3,当n=1时,a1=S1=32-1+r=3+r,因为数列是等比数列,所以a1满足an=832n-3,即832-3=3+r=,即r=-.6.已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10 ,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4【解析】选A.(a1a2a3)(a7a8a9)=50,a4a5a6=5.7.(2019常德模拟)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十
4、八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地.”请问第三天走了()A.60里B.48里C.36里D.24里【解析】选B.由题意得,每天行走的路程成等比数列an,且公比为,因为6天后共走了378里,所以S6=378,解得a1=192,所以第三天走了a3=a1=192=48里.二、填空题(每小题5分,共10分)8.已知数列an为等比数列,若a1+a3=5,a2+a4=10,则公比q=_.【解析】设等比数列an的公比为q,由a2+a4=10,可得a
5、1q+a3q=10,即q(a1+a3)=10,又a1+a3=5,所以5q=10.解得q=2.答案:29.在等比数列an中,a1=1,an0,其前n项和为Sn,若a2是-a3,a4的等差中项,则S6的值为_.【解析】设公比为q,则可列方程2q=-q2+q3,解得q=0或2或-1,其中满足条件的公比只有2.则S6=63.答案:63三、解答题10.(15分)(2019全国卷)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列.(2)求an和bn的通项公式.【解析】(1)由题设得4(an+1+bn
6、+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).又因为a1+b1=1,所以是首项为1,公比为的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.所以an=(an+bn)+(an-bn)=+n-,bn=(an+bn)-(an-bn)=-n+.20分钟40分1.(5分)已知数列an满足log3an+1=log3an+1(nN*),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是()A.-5B.-C.5D.【解析
7、】选A.因为log3an+1=log3an+1,所以an+1=3an.所以数列an是公比q=3的等比数列,所以a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9.所以a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q4)=35.所以lo35=-5.2.(5分)在各项均为正数的等比数列an中,a6=3,则a4+a8=()A.有最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值3【解析】选A.设等比数列an的公比为q(q0).因为a6=3,所以a4=,a8=a6q2=3q2.所以a4+a8=+3q22=6.当且仅当q=1时上式等号成立.3.(5分)设an是公比为q的等比数列,|q|1,令bn
8、=an+1(n=1,2,),若数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中,则q等于()A.-B.C.-D.【解析】选C.bn有连续四项在-53,-23,19,37,82中且bn=an+1,an=bn-1则an有连续四项在-54,-24,18,36,81中因为an是等比数列,等比数列中有负数项,所以q1,所以此种情况应舍).所以q=-.4.(5分)(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=_.【解析】设等比数列的公比为q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,解得q=-,所以S4=.答案:5.(10分)已知数列a
9、n的首项a1=2,且an+1=an+(nN*),求数列的前10项的和.【解析】数列an的首项a1=2,且an+1=an+(nN*),则(an+1-1)=(an-1),整理得=(常数),所以数列an-1是以a1-1=2-1=1为首项,为公比的等比数列,所以an-1=1,当n=1时,符合通项.故=2n-1,所以Sn=20+21+22+2n-1=2n-1,所以S10=210-1=1 024-1=1 023.6.(10分)(2020玉溪模拟)已知Sn为数列an的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.(1)证明:Sn-n+2为等比数列.(2)设数列Sn的前n项和为Tn,比较Tn与2n+2-5n的大小.【
10、解析】(1)当n=1时,有S1-2a1=1-4,即a1-2a1=1-4,所以a1=3,所以S1-1+2=4;当n2时,原式转化为Sn-2(Sn-)=n-4,即Sn=2-n+4,所以Sn-n+2=2-(n-1)+2.又因为S1-1+2=4,所以Sn-n+20,所以=2,所以数列Sn-n+2是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,数列Sn-n+2是首项为4,公比为2的等比数列,所以Sn-n+2=42n-1=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,所以Tn=(22+23+2n+1)+(1+2+n)-2n=+-2n=+-2n-4,所以Tn-(2n+2-5n)=2n+2+-2n-4-(2n+2-5n)=.因为n1,所以0,即Tn2n+2-5n,当且仅当n=1时等号成立.关闭Word文档返回原板块