1、数学试卷一 选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,其中18题为单选题,每题5分,选对得5分,选错得0分,912题为多选题,全部选对得5分,漏选得3分,选错得0分)1.=( )A B C D2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是,则( )A.B.C.D.3.设非零向量满足,则( )A. B. C. D. 4.从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动,则这名女生被选中的概率是( )A B. C. D. 5.函数在的最小值是( )A.1B.C.D.36.的内角的对边分别为. 已知,则( )A. B. C. D. 7.如图,在四面体中,若截面是正方形,则在下列命 题中,错误的为( )
2、AB截面CD异面直线与所成的角为8.设偶函数在上为增函数,且,则不等式的解集为( )A BC D(多选题)9.已知向量,则( )A.B.C.D.10.如图是函数的部分图象,将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,则下列命题正确的是( )A.是奇函数B.函数的图象的对称轴是直线C.函数的图象的对称中心是D.函数的单调递减区间为11.如图,在四棱锥中,底面,四边形是直角梯形,F是的中点,E是上的一点,则下列说法正确的是( )A.若,则平面B.若,则四棱锥的体积是三棱锥体积的6倍C.三棱锥中有且只有三个面是直角三角形D.平面平面12.给出下列命题, 其中正确命题的有:( )A.若是第一象限角且
3、,则;B.不存在实数,使得;C.函数在单调递减;D.函数的图象关于点成中心对称图形二,填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分。)13.在平行四边形中,_。(用表示)14.若正三棱柱的所有棱长都相等,D是底边的中点,则直线与平面所成角的正弦值为_15.已知,点为延长线上一点,连接,则的面积是_,_(本题第一个空3分,第二空2分)16.我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面 得到的那个数,相减后余数被4除,所得的数作为“
4、实”,1作为“隅”,开平方后即得面积所谓“实”、“隅”指的是在方程中,为“隅”,为“实”即若的大斜、中斜、小斜分别为,则.已知点是边上一点,则的面积为_三解答题:(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.(10分)(1)已知,求的值(2)已知角的终边过点,为第三象限角,且,求的值.18.(12分)已知.(1).当为何值时, 与垂直?(2).当为何值时, 与平行?平行时,它们是同向还是反向?19.(12分)如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,为中点(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.20.(12分)设函数直线与函数y=f(x)图象相邻两交点的距离为(1)求的值;(2)在
5、中,角所对的边分别是若点是函数图象的一个对称中心,且,求外接圆的面积.21.(12分)在三棱柱中,底面是正三角形,侧棱平面分别是的中点,且(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值22.(12分)如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 (ABCD)的池底水平铺设污水净化管道( 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口 H是 AB的中点, E,F分别落在线段BC,AD上.已知 AB=20米, 米,记 . 1.试将污水净化管道的总长度 L(即 的周长)表示为 的函数,并求出定义域; 2.问 当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的总长度.数学试卷参考答案1.A2
6、.B3.B4.C5.C6.A7.C8.A9.ABD10.AD11.AD12.BCD13.14.15.16.17.(1)(2)角的终边过点, 又为第三象限角,且,18.(1). ,.当时,这两个向量垂直.由,得.解得即当时, 与垂直.(2).当与平行时,存在实数,使,由,得解得即当时, 与平行,当与平行时, ,与反向.19.(1)连结交于点,连结.因为底面是矩形,所以为中点.又因为为中点, 所以.因为,所以平面. (2)为中点 所以三棱锥的体积即为三棱锥的体积. 因为底面为矩形, 所以.又因为平面平面,,所以.因为,所以.因为所以,即.因为平面, 所以平面. 因为底面是矩形所以.因为平面,平面,
7、 所以平面.所以.所以三棱锥的体积为.20(1),因为的最大值为,依题意,函数的最小正周期为,由,得(2)因为,依题意,由正弦定理,外接圆的面积为21.(1)在三棱柱中,平面平面所以.在中,.所以又,所以平面因为平面,所以又,所以平面(2)设,在矩形中,因.所以,则即即,得由(1)知,平面,且平面,所以又为二面角的棱,所以为二面角的平面角,在中,,则所以,二面角的余弦值为 22、 (1). , , . 由于 , , 所以 , 故管道的总长度 ,定义域为 . (2) 设 ,则 , 由于 ,所以 . 因为 在 内单调递减, 于是当 时, 取的最大值 米.(此时 或 ). 答:当 或 时所铺设的管道最短,为 米.