1、第五练 一、选择题 1.在平行四边形 ABCD 中,AC=10,BD=1,则 =()A.414 B.-414 C.-94 D.94 答案 D 由题意得,=-,=+,所以 2-2=4 =1-10=-9,所以 =94,故选 D.2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且当 x0,1时,f(x)=log2(x+1),则f(31)=()A.0 B.1 C.-1 D.2 答案 C 由 f(x+1)=f(1-x)及 f(-x)=-f(x),得 f(x+2)=f(x+1)+1=f 1-(x+1)=f(-x)=-f(x),则f(x+4)=f(x+2)+2
2、=-f(x+2)=f(x),函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数,f(31)=f(48-1)=f(-1)=-f(1)=-log2(1+1)=-1,故选 C.3.将函数 f(x)=cos 2x 的图象向右平移4个单位长度后得到函数 g(x)的图象,则 g(x)()A.最大值为 1,图象关于直线 x=2对称 B.为奇函数,在(0,4)上单调递增 C.为偶函数,在(-38,8)上单调递增 D.周期为,图象关于点(38,0)对称 答案 B 将函数 f(x)=cos 2x 的图象向右平移4个单位长度后得到函数g(x)=cos2(-4)=sin 2x 的图象,则函数 g(x)的最大值为 1,其图象关于
3、直线 x=2+4(kZ)对称,故选项 A 不正确;函数 g(x)为奇函数,当 x(0,4)时,2x(0,2),故函数 g(x)在(0,4)上单调递增,故选项 B 正确,选项 C 不正确;函数 g(x)的周期为,其图象关于点(2,0)(kZ)对称,故选项 D不正确.故选 B.4.设 F1,F2 分别是双曲线 C:22-22=1(a0,b0)的左,右焦点,M 为双曲线右支上一点,N 是 MF2 的中点,O 为坐标原点,且 ONMF2,3|ON|=2|MF2|,则 C 的离心率为()A.6 B.5 C.4 D.3 答案 B 连接 MF1,由双曲线的定义得|MF1|-|MF2|=2a,因为 N 为 M
4、F2 的中点,O 为 F1F2 的中点,所以 ONMF1,所以|ON|=12|MF1|,因为 3|ON|=2|MF2|,所以|MF1|=8a,|MF2|=6a,因为 ONMF2,所以 MF1MF2,在 RtMF1F2 中,由勾股定理得(8a)2+(6a)2=(2c)2,即 5a=c,因为 e=,所以 e=5,故选 B.二、填空题 5.已知函数 f(x)=ln x-ax(aR)的图象与直线 x-y+1=0 相切,则实数 a 的值为 .答案 1e2-1 解析 设直线 x-y+1=0 与函数 f(x)=ln x-ax 的图象的切点为 P(x0,y0),因为 f(x)=1-a,所以由题意得0-0+1=
5、0,(0)=10-a=1,(0)=ln 0-a0=0,解得 a=1e2-1.6.已知三棱锥 S-ABC 中,SA平面 ABC,且 SA=6,AB=4,BC=23,ABC=30,则该三棱锥的外接球的表面积为 .答案 52 解析 如图,取 SB 的中点 O,连接 OA,OC.易知 OA=OS=OB.在ABC中,AC2=42+(23)2-2423cos 30=4,AC2+BC2=AB2,ACBC.SA平面 ABC,BC平面 ABC,SABC,又 SAAC=A,SA,AC平面 SAC,BC平面 SAC,又 SC平面 SAC,BCSC,OS=OB=OC,O 是三棱锥 S-ABC 的外接球的球心.在 Rt
6、SBA 中,AB=4,SA=6,SB=213,外接球的半径 R=12SB=13,该三棱锥的外接球的表面积 S=4R2=52.三、解答题 7.已知an是各项都为正数的数列,其前 n 项和为 Sn,且 Sn 为 an 与1的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=(-1),求bn的前 n 项和 Tn.解析(1)由题意知,2Sn=an+1,即 2Snan-2=1,当 n=1 时,由式可得 S1=1;当 n2 时,an=Sn-Sn-1,代入式,得 2Sn(Sn-Sn-1)-(Sn-Sn-1)2=1,整理得2-12=1.所以2是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以2=1+n-1=n.因
7、为an的各项都为正数,所以 Sn=,所以 an=Sn-Sn-1=-1(n2),又 a1=S1=1 符合上式,所以 an=-1.(2)bn=(-1)=(-1)-1=(-1)n(+-1),当 n 为奇数时,Tn=-1+(2+1)-(3+2)+(-1+-2)-(+-1)=-.当 n 为偶数时,Tn=-1+(2+1)-(3+2)+-(-1+-2)+(+-1)=.所以bn的前 n 项和 Tn=(-1)n.8.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,B1A1A=C1A1A=60,AA1=AC=4,AB=2,P,Q 分别为棱AA1,AC 的中点.(1)在 BC 上是否存在点 M,使得 AM平面 B1PQ?
8、请证明你的结论;(2)若侧面 ACC1A1底面 ABB1A1,求直线 A1C1 与平面 B1PQ 所成角的正弦值.解析(1)在 BC 上存在点 M,即靠近点 B 的三等分点,使得 AM平面 B1PQ.证明:如图,在平面 ABB1A1 内,过点 A 作 ANB1P 交 BB1 于点 N,连接 BQ,在BB1Q 中,取 BQ的中点 H,连接 NH,则 NHB1Q.ANNH=N,B1PB1Q=B1,且 AN,NH平面 AHN,B1P,B1Q平面 B1PQ,平面 AHN平面 B1PQ.又 AH平面 AHN,AH平面 B1PQ.连接 AH 并延长交 BC 于点 M,AM平面 B1PQ.在ABC 中,取
9、BC 的中点 R,连接 HR,可知=14=,从而 CM=2MB,则点 M 即为所求.(2)连接 PC1,AC1.AA1=AC=A1C1,C1A1A=60,AC1A1 为等边三角形.P 为 AA1 的中点,PC1AA1.又侧面 ACC1A1底面 ABB1A1,且平面 ACC1A1平面 ABB1A1=AA1,PC1平面 ACC1A1,PC1平面 ABB1A1.在平面 ABB1A1 内过点 P 作 PHAA1,交 BB1 于点 H,分别以,1,1 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 P-xyz,则 P(0,0,0),A1(0,2,0),A(0,-2,0),C(0,-4,23),C1(0,0,23).11=(0,-2,23).Q 为 AC 的中点,点 Q 的坐标为(0,-3,3),=(0,-3,3).A1B1=AB=2,B1A1A=60,B1(3,1,0),1=(3,1,0).设平面 B1PQ 的法向量为 m=(x,y,z),由PQ =0,PB1 =0得-3+3z=0,3x+y=0,令 x=1,得 y=-3,z=-3,平面 B1PQ 的一个法向量为 m=(1,-3,-3).设直线 A1C1 与平面 B1PQ 所成角为,则 sin=|cos|=|A1C1|A1C1|=3913,即直线 A1C1 与平面 B1PQ 所成角的正弦值为3913.