1、2014-2015学年度上学期省五校协作体高三期中考试数学(理）试题第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x|3，B=x|y=lg(x-1)，则集合AB为A0,3) B1,3) C(1,3) D(-3,1 【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】C解析：A=x|-3x1.所以AB=(1,3)，故选C.【思路点拨】化简集合A、B，然后由交集意义得AB.2.下列函数中周期为p且为偶函数的是Ay=cos(2x-) By=sin(2x+) Cy=sin(x+) Dy=cos(x-)【知识点】函数的奇
2、偶性；函数的周期性；诱导公式. B4 C2 【答案】【解析】B 解析：因为y=sin(2x+)=cos2x是偶函数，且周期T= ，故选B.【思路点拨】先用诱导公式化简函数解析式，再用弦周期公式，求相应函数的周期.3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“xR, 均有x2-x+10”的否定是：“$xR, 使得x2-x+10”的否定是：“$xR, 使得x2-x+1 0”故A不正确；因为x=3时2x2-7x+3=0成立，而2x2-7x+3=0时x不一定等于3，所以“x=3”是“2x2-7x+3=0”成立的充分不必要条件是正确的.故选 B.【思路点拨】依次分析各命题，直到得到正确命题为止.【题文】4.
3、已知平面向量=(2m+1,3), =(2,m)，且与反向，则|等于 A. B. 或2 C. D. 2【知识点】向量共线的意义；向量的运算. F1 F2 【答案】【解析】D解析：因为与反向，所以与共线，所以或，当m=-2时=（-3,3），=（2，-2），与反向，此时|=2；当 时，=（4,3），=（2，）与同向.故选D.【思路点拨】由与反向，得与共线，所以，解得m值后，代入向量、的坐标，分析与是否反向，得出使与反向得m值后，再求|.【题文】5.设偶函数f(x)对任意xR都有f(x+3)=-,且当x-3,-2时，f(x)=4x,则f(107.5)=A.10 B. C.-10 D.-【知识点】抽象函
4、数的奇偶性；周期性. B4 【答案】【解析】B 解析：由f(x+3)=- ，所以函数f(x)的周期为6，又f(x)是偶函数，所以f(107.5)=f()=f(5.5)=- .故选 B.【思路点拨】由f(x+3)=-得函数的周期为6 ，所以f(107.5)=f()=f(5.5)=- ，又函数f(x)是偶函数，所以f(107.5) .【题文】xy-1O6.函数f(x)=Asin(wx+j)(A0,w0,|j|)的图象如下图所示，则下列说法正确的是A对称轴方程为x=+2kp(kZ) Bj=- C.最小正周期是p Df(x)在区间(-,-)上单调递减【知识点】函数的图像与性质. C4【答案】【解析】D
5、解析：,A=1，所以,因为|j|=3/2又0A所以0A=/6A的最大值为/68.已知向量=（2，1），=10，|+|=5,则|=A5 B25 C D【知识点】向量数量积的坐标运算；向量模的坐标运算. F2 F3 【答案】【解析】A解析：设，则解得：或，所以|=5，故选A.【思路点拨】设，根据题意得关于x、y 的方程组，解得的坐标，从而求得.【题文】9.已知集合M=(x,y)|x+y-20,x0,y0,N=(x,y)|y,y0,则集合MN中的点所构成的平面区域的面积为（ ）A B1 C D【知识点】二元一次不等式表示的平面区域；定积分的几何意义. E5 B13【答案】【解析】D解析：如图，集合M
6、N中的点所构成的平面区域为曲边三角形AOB，其面积.故选D.【思路点拨】在坐标系中画出两集合的交集，把它分成一个直角三角形和一个曲边三角形面积的和来求，其中曲边三角形面积用定积分求出.【题文】10.已知数列an,定直线l:(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0,若(n,an)在直线l上，则数列an的前13项和为（ ）A10 B21 C39 D78【知识点】等差数列及其前n项和. D2 【答案】【解析】C解析：因为(n,an)在直线(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0上，所以，即数列an是等差数列,所以=39.故选C.【思路点拨】由(n,an)在一条直线上得数列an是等差数列，然后由等差数
7、列的前n项和公式求解.【题文】11.已知an为等差数列,0d1,a5,sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7,Sn为数列an的前n项和，若SnS10对一切nN*都成立，则首项a1的取值范围是（ ）A-p,-p） B-p,-p C（-p,-p D-p,-p【知识点】等差数列的性质. D2【答案】【解析】D解析：由sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7,得 因为a5,所以sin4d=1，所以，又因为0df(x)sin2x-f(x),若方程f(x)+knsecx=0在0,+)上有n个解，则数列的前n项和为A.(n-1)2n+1 B.(n-1)2n+1+2 C.n2n-1 D.
8、【知识点】函数性质及应用；导数的综合应用；数列求和. B1 B12 D4【答案】【解析】A解析：由f(0)=-2,f(x+p)=f(x)得，f()=-1，f(2)=- ，f(3)= - ，.由当x0,p)时，f(x)cos2xf(x)sin2x-f(x)得 所以时，h(x)=f(x)cosx是增函数，时，h(x)=f(x)cosx是减函数.由于方程f(x)+knsecx=0在0,+)上有n个解，即在0,+)上有n个解，则，. 则有.令，则两式相减得则.故选A.【思路点拨】由f(0)=-2,f(x+p)=f(x)得.由当x0,p)时，f(x)cos2xf(x)sin2x-f(x)得时，h(x)=
9、f(x)cosx是增函数，时，h(x)=f(x)cosx是减函数. 由于方程f(x)+knsecx=0在0,+)上有n个解，即在0,+)上有n个解.所以，. 则有.再用错位相减法求数列的前n项和.【题文】第卷（非选择题，共90分）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。【题文】13.在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC+ccosB=b，则=_ .【知识点】正弦定理或余弦定理. C8【答案】【解析】1解析：把余弦定理代入已知等式bcosC+ccosB=b得，所以=1.【思路点拨】把正弦定理或余弦定理代入已知等式，即得A=B或a=b.【题文】14.平面上三个向
10、量,，满足|=1,|=,|=1, =0，则的最大值是_。【知识点】向量数量积的坐标运算. F2 F3 【答案】【解析】3解析：以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(1，0)，,令C（cost,sint）则，所以=.所以的最大值是3.【思路点拨】通过建立直角坐标系，得向量的坐标，利用向量的坐标运算，把所求最值转化为三角函数的最值求解.【题文】15.在数列an中，a10,an+1=an，Sn为an的前n项和。记Rn=,则数列Rn的最大项为第_ 项。【知识点】等比数列的性质；数列最大项的求法. D3 【答案】【解析】4解析：a10,an+1=an，数列an是等比数列. .当
11、且仅当时等号成立.所以数列Rn的最大项为第4项.【思路点拨】由已知得数列an是等比数列.把等比数列的通项公式、前n项和公式，代入Rn=，然后利用基本不等式求结论.【题文】16.设f(x)是定义在R上的函数，且对任意x,yR,均有f(x+y)=f(x)+f(y)+2014成立，若函数g(x)=f(x)+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=_【知识点】抽象函数的应用；奇函数的性质. B4【答案】【解析】-4028解析：由已知得f(0)=-2014，从而有f(x)+2014= - f(-x)+2014,令h(x)=f(x)+2014+2014 ,则h(-x)=f(-x)+2014-20
12、14 = - f(x)+2014 -2014 =- f(x)+2014+2014 = - h(x),所以h(x)是奇函数，若h(x)最大值N、最小值n,则N+n=0,又g(x)=h(x)-2014,所以M=N-2014，m=n-2014,所以M+m=N+n-4028= - 4028.【思路点拨】由已知得抽象函数f(x)满足f(x)+2014=-f(-x)+2014,从而得函数h(x)=g(x)+2014是奇函数，利用奇函数最大值与最小值的和为零得结论.【典例剖析】本小题是较典型的考题，具有一定的代表性.构造一个奇函数，其最大值N,最小值n.则这个奇函数加一个常数t后，所得新函数的最大值为N+t
13、，最小值为n+t. 由于N+n=0,所以新函数的最大值与最小值的和为2t.【题文】三、解答题：本大题共6小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【题文】17.（本小题满分10分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，cosC=。（1）求sinA的值； （2）求ABC的面积。【知识点】正弦定理；余弦定理. C8 【答案】【解析】（1）；（2）. 解析：（1）由正弦定理得：= 即：= sinA=4分（2）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC即：2=1+b2-2b 2b2-3b-2=0 (2b+1)(b-2)=0b=28分 SABC=absin
14、C=12=10分【思路点拨】（1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解；（2）根据余弦定理和三角形面积公式求解.【题文】18. (本小题满分12分)已知向量=(2cosx,sinx),=(cosx,-2cosx)设函数f(x)= （1）求f(x)的单调增区间；（2）若tana=,求f(a)的值【知识点】向量数量积的坐标形式；二倍角公式；两角和与差的三角函数；三角函数的单调性；三角函数的求值. F2 F3 C5 C6 C3 C7【答案】【解析】(1) kp-,kp- ,kZ；（2）.解析：f(x)= =2cos2x-2sinxcosx=1+cos2x-sin2x=1+2cos(2x+)3分(1)当
15、2kp-p2x+2kp时，f(x)单调递增，解得：kp-xkp- kZf(x)的单调递增区间为kp-,kp- kZ 7分(2)f(a)=2cos2a-2sinacosa=12分【思路点拨】（1）利用向量数量积的坐标公式化简f(x)得，f(x)= 1+2cos(2x+),再用余弦函数的增区间求f(x)的增区间；（2）把f(x)中的弦函数化为正切函数，再把tan代入即可.【题文】19. (本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+ (a0)（1）用单调性的定义判断函数f(x)在(0,+)上的单调性并加以证明；（2）设f(x)在0x1的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式。【知识点】定义法证明函
16、数的单调性；由单调性确定函数的最小值. B3 【答案】【解析】（1）f(x)在（0，）上是单调递减的，在（，+）上单调递增的.证明：见解析；（2）(a)= . 解析：(1)f(x)=ax+-f(x)在（0，）上是单调递减的，在（，+）上单调递增的；2分下面证明：设x1,x2是（0，）上的任意两个值，且x10y=f(x2)-f(x1)=ax2+-ax1-=a(x2-x1)+-= a(x2-x1)+=(x2-x1)(a-)=(x2-x1)0x1,0x2 0x1x2 0ax1x21 ax1x2-10, ax1x20y=f(x2)-f(x1)0f(x)在（0，）上是单调递减,同理可证f(x)在（，+）
17、上单调递增; 7分(2)当01即0a1时，f(x)在(0,单调递减，在，1单调递增，fmin(x)=f()=2-g(a)= 12分【思路点拨】（1）根据对勾函数的性质可得函数f(x)在(0,+)上的单调性，然后再用单调性的定义证明即可；（2）由（1）知函数f(x)在x= 处有最小值，所以讨论 与1 的大小关系得函数f(x)在在0x1的最小值为g(a)的表达式.【题文】20.(本小题满分12分)数列an的前n项和为Sn,且Sn+an=1,数列bn满足b1=4,bn+1=3bn-2;(1)求数列an和bn的通项公式；(2）设数列cn满足cn=anlog3(b2n-1-1),其前n项和为Tn，求Tn
18、;【知识点】已知递推公式求通项；错位相减法求数列的前n项和. D1 D4【答案】【解析】（1）；（2）. 解析：（1）当n=1时，a1+S1=1 a1=当n2时，an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1)=an-1-an an=an-1数列an是以a1=为首项，公比为的等比数列；an=()n-1=()n3分bn+1=3bn-2 bn+1-1=3(bn-1)又b1-1=3 bn-1是以3为首项，3为公比的等比数列bn-1=3n bn=3n+16分(2)cn=()nlog332n-1=(2n-1)()nTn=1+3()2+5()3+(2n-3)()n-1 +(2n-1)()nTn=1()
19、2+3()3+5()4+(2n-3)()n+(2n-1)()n+1(1-)Tn =1+2()2+()3+()n-1 +()n-(2n-1)()n+1 =+2-(2n-1)()n+1=+1-()n-1-(2n-1)()n+1=-4()n+1-(2n-1)()n+1 =-(2n+3) ()n+1Tn=3- 12分【思路点拨】(1)利用公式，把 Sn+an=1化为关于的递推公式求；构造等比数列求bn；（2）由（1）得，用错位相减法求此数列的前n项和.【题文】21.(本小题满分12分)设f(x)=xlnx,g(x)=x2-1(1)令h(x)=f(x)-g(x)，求h(x)的单调区间；（2）若当x1时，
20、f(x)-mg(x)0恒成立，求实数m的取值范围；【知识点】利用导数法求函数的单调区间；不等式恒成立问题. B12 E8【答案】【解析】（1）h(x)在（0，+）上单调递减，无增区间；（2），+） 解析： (1)h(x)=xlnx-x2+1 ，h(x)=lnx+1-2x令t(x)=lnx+1-2x t(x)=-2=t(x)在(0,1/2)(1/2,+) t(x)t(1/2)=-ln20即h(x)0h(x)在（0，+）上单调递减6分(也可以先证明lnxx-1,再由lnx+1-2x(x-1)+(1-2x)=-x0证明h(x)F(1)=0 即f(x)-mg(x)0 不合题意当0m0解得：1x ,G(
21、x)= -2mG(x)在1, 上单调递增，G（x)G(1)=1-2m0 即F(x)0F(x)在1, 上单调递增 当x(0, )时，F(x)F(0)=0即f(x)-mg(x)0 不合题意综合可知，m合题意m的取值范围是，+）12分【思路点拨】（1）求定义域上导函数大于0的x 范围为增区间，导函数小于0 的x范围为减区间；（2）要使x1时，f(x)-mg(x)0恒成立，只需使x1时，f(x)-mg(x)的最大值小于或等于零.利用导数，通过讨论m的取值条件，确定f(x)-mg(x)的最大值，使此最大值小于或等于零，得m的取值范围.【题文】22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=(x2a+1)e
22、x，g(x)=(x2-2)ex+2.(1)若曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线为l: y=2ex+b,求a,b的值；(2)若函数f(x)在-3,1上是单调函数,求实数a的取值范围;(3)若f(x)有两个不同极值点m,n（m0 即a0且：m+n=-2,mn=1-a(mn) |m+n|mn|1 |a-1|30a4 f(m)=(m2+2m-a+1)em=0 a= m2+2m +1 0m2+2m +14 -3m1且m-1 又mn -3m-1F(x)=(x2a+1)ex+2+(x2-2)ex+2=(2x2a-1)ex+2F(m)= (2m2a-1)em+2=(m2-2m-2)em+2F(m)=(m2-4)em+2F(m)在-3，-2上单调递增，在-2，-1）上单调递减Fmax(m)=F(-2)=6 12分【思路点拨】（1）根据导数的几何意义求a、b值；（2）函数f(x)在-3,1上是单调函数，则导函数0在-3,1恒成立，或者导函数 0在-3,1恒成立，由此得a的取值范围；（3）由f(x)有两个不同极值点m,n（mn）,且|m+n|mn|1求得0a4，进一步求得-3m-1，则函数，再用导数法求其最大值.