1、模块综合评估一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1“(2x1)x0”是“x0”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：由(2x1)x0可得x或x0.因为“x或x0”是“x0”的必要不充分条件，所以“(2x1)x0”是“x0”的必要不充分条件2命题“对任意的xR，x3x210”的否定是(C)A不存在x0R，xx10 B存在x0R，xx10C存在x0R，xx10 D对任意的xR，x3x210解析：先变换量词，再否定结论，即“x0R，xx10”3下列命题中是假命题的是(B)Ax，xsinx Bx
2、0R，sinx0cosx02CxR,3x0 Dx0R，lgx00解析：本题主要考查全称命题、特称命题以及命题真假的判断，因为sinx0cosx0sin，所以B错误，故选B.4与双曲线x21共焦点，且过点(1,2)的椭圆的标准方程为(C)A.1 B.1C.1 D.1解析：本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程由题知，焦点在y轴上，排除A，B，将(1,2)代入C，D可得C正确，故选C.5给出下列三个命题：“全等三角形的面积相等”的否命题；“若lgx20，则x1”的逆命题；“若xy或xy，则|x|y|”的逆否命题其中真命题的个数是(B)A0 B1C2 D3解析：本题考查四种命题的关系及真假判断对于，否命
3、题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于，逆命题是“若x1，则lgx20”，它是真命题；对于，逆否命题是“若|x|y|，则xy且xy”，它是假命题，故选B.6如图，在正方体ABCDABCD中，M是AB的中点，则sin，的值为(B)A. B.C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,0)，M，所以(1,1,1)，cos，.所以sin，.7已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与a2b互相垂直，则k(D)A B.C. D.解析：kab(k1，k,2)，a2b(3,1，4)，由(kab)(a2b)3(
4、k1)k80，解得k.8正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(D)A. B.C. D.解析：设正方体棱长为1.建立空间直角坐标系如图易知平面ACD1的一个法向量为n(1,1,1)，(0,0,1)，cosn，.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.9.已知双曲线1(a0，b0)，两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为(D)A. B.C2 D.或2解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用根据题意，由于双曲线1(a0，b0)的两渐近线的夹角为60，则可知或，那么可知双曲线的离心率为e2或，故选D.10已知椭圆1(ab0)，双曲线1和抛物线y22px(p0)的离心率
5、分别为e1，e2，e3，则(C)Ae1e2e3 Be1e2e3Ce1e2e3 De1e2e3解析：依题意可知，e1，e2，e31，e1e21.e1e2b10)，双曲线的方程为1(a20，b20)，它们的半焦距为c，不妨设P为它们在第一象限的交点，因为0，故|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2.由椭圆和双曲线的定义知，解得|PF1|a1a2，|PF2|a1a2，代入式，得(a1a2)2(a1a2)24c2，即aa2c2，所以2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13若命题p：“xR，x2(a1)x10”为假命题，则实数a的取值范围是(1,3)解析
6、：本题主要考查特称命题的真假及参数取值范围的求解由题意得綈pxR，x2(a1)x10，即关于x的一元二次不等式x2(a1)x10的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以(a1)240，解得1a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为1.解析：由已知得2，所以b2a.在y2x10中令y0得x5，故c5，从而a2b25a2c225，所以a25，b220，所以双曲线的方程为1.16在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且椭圆C上的点P到点Q(0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C的方程为y21.解析：由e，得c2
7、a2，所以b2a2c2a2.设P(x，y)是椭圆C上任意一点，则1，所以x2a2a23y2.|PQ|，当y1时，|PQ|有最大值.由3，可得a23，所以b21，故椭圆C的方程为y21.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知集合Ax|x23x20，集合By|yx22xa，集合Cx|x2ax40，命题p：AB，命题q：AC.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题pq为假命题，求实数a的取值范围解：yx22xa(x1)2a1a1，By|ya1，Ax|x23x20x|1x2，Cx|x2ax40(1)由命题p是假命题，可得AB，即
8、得a12，a3.(2)“pq为假命题”，则其反面为“pq为真命题”，p，q都为真命题，即AB且AC，有解得a3.实数a的取值范围为a3.18(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解：由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.方法1：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFA
9、D，FGBC，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin|cos，n|.方法2：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E是AB的中点，F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1,0,0)，G(0,1,0)，(1,1,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1,1,0)，sin|cos，n|.19(12分)设数列an的各项都不为零，求证：对任意nN*且n2，都有成立的充要条件是an为等差数列证明：(充分性)若an为等差数列，设其公差为d，则.(必要性)若，则，两式相减得，即a1na
10、n(n1)an1.于是有a1(n1)an1nan2，由得nan2nan1nan20，所以an1anan2an1(n2)又，所以a3a2a2a1，所以对任意nN*,2an1an2an，故an为等差数列20(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y24x，F为其焦点，点E的坐标为(2,0)，设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，连接ME，NE并延长分别交抛物线C于点P，Q.(1)当MNx轴时，求直线PQ与x轴交点的坐标；(2)当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k12k2.解：(1)抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)当MNx轴时，直线MN的
11、方程为x1.将x1代入抛物线方程y24x，得y2.不妨设M(1,2)，N(1，2)，则直线ME的方程为y2x4，由解得x1或x4，于是得P(4，4)同理得Q(4,4)，所以直线PQ的方程为x4.故直线PQ与x轴的交点坐标为(4,0)(2)证明：设直线MN的方程为xmy1，并设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由得y24my40，于是y1y24，从而x1x21.设直线MP的方程为xty2，由得y24ty80.所以y1y38，x1x34.同理y2y48，x2x44.由，得y32y2，x34x2，y42y1，x44x1.从而k2k1，即k12k2.21(12分)
12、如图所示，已知在长方形ABCD中，AB2AD2，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得ADBM，得如图所示的几何体(1)求证：平面ADM平面ABCM；(2)是否存在满足t(0t1)的点E，使得二面角EAMD的大小为？若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由解：(1)证明：长方形ABCD中，AB2AD2，M为DC的中点，AMBM2，AM2BM2AB2，BMAM.ADBM，ADAMA，BM平面ADM.又BM平面ABCM，平面ADM平面ABCM.(2)设存在满足题意的点M，使得二面角EAMD的大小为.以M为原点，MA所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴，建立空间
13、直角坐标系，如图，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,0,1)，M(0,0,0)，(0,2,0)，(1，2,1)，(t,22t，t)设平面AME的法向量为m(x，y，z)，则即取yt，得m(0，t,2t2)易知平面AMD的一个法向量为n(0,1,0)，又二面角EAMD的大小为，cos，解得t或t2(舍)，存在满足t(0t0)的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点(O为坐标原点)，且F1F2OA.(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P的坐标为(1，1)，求PMN面积的最小值解：(1)设A(x1，y1)(x10，y10)，有.由题意知，F1(1,0)，F2，.F1F2OA，0，即x1y10，即py12x1，将其代入式得x14，y14，p2，故抛物线C2的方程为x24y.(2)设直线MN的方程为ykx(k0)联立得M；联立得N(4k,4k2)从而|MN|.又点P(1，1)到直线MN的距离d，SPMN22，令tk(t2)，SPMN2(t2)(t1)，易知当t2，即k1，即当过原点的直线方程为yx时，PMN的面积取得最小值8.
