1、二一般形式的柯西不等式考纲定位重难突破1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式2.会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等式.重点：一般形式的柯西不等式的几何意义难点：会用一般形式的柯西不等式进行简单的数学应用.授课提示：对应学生用书第30页自主梳理一、三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3R，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当且仅当b1b2b30或存在一个数k，使得a1kb1，a2kb2，a3kb3时，等号成立二、一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaaa)(bbbb)(
2、a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2,3，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,3，n)时，等号成立双基自测1设a，b，cR，且满足abc1，则的最大值为()A1BC.D2解析：a，b，cR，()2(111)2(121212)(abc)3，当且仅当，即abc时，等号成立，的最大值为，故选C.答案：C2已知x，y，z0，且xyz1，则x2y2z2的最小值是()A1 B C. D3解析：由柯西不等式得(x2y2z2)(121212)(xyz)21.x2y2z2，当且仅当xyz时，等号成立，即所求最小值为.答案：B3设a、b、c是正实数，且abc9，则的最小值是_解析：(a
3、bc)()2()2()2218.2.答案：24边长为a，b，c的三角形，其面积为，外接圆半径为1，若s，t，则s与t的大小关系是_解析：S，即abc1，tabbcca，t2(abbcca)()2s2，又a，b，c0，st.答案：st授课提示：对应学生用书第30页探究一利用柯西不等式证明不等式例1已知a，b，c0，求证：9.证明由柯西不等式，知2(111)29，当且仅当abc时，等号成立故原不等式成立应用柯西不等式需要掌握的方法与技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数(2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，
4、从而达到使用柯西不等式的目的(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项 1设a，b，cR，求证：a5b5c5a3bcb3cac3ab.证明：a，b，cR，(a5b5c5)(a2b2c2)2，(a5b5c5)(a2b2c2)2.又a2b2c2abbcca，a5b5c5(a2b2c2)abc，即a5b5c5a3bcb3acc3ab.探究二利用柯西不等式求最值例2已知a、b、c(0，)，2，求a2b3c的最小值及取得最小值时a、b、c的值解析(a2b3c)()2()2()22(123)236，又2，a2b3c18，当且仅当abc3时，等号成立，综上，当abc3时，a2b3c取得最小值18.利用柯
5、西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果，同时，要注意等号成立的条件2设2x3y5z29，求函数u的最大值解析：易知x，y，z，且u0，由于u2()2(111)2(121212)()2()2()23(2x3y5z11)340，00，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解析(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.3分(2)由(1)知abc4，由柯西不等
6、式，得(491)2(abc)216，即a2b2c2.6分当且仅当，即a，b，c时等号成立，故a2b2c2的最小值是.10分规律探究(1)结合本题特征，用绝对值三角不等式求函数f(x)|xa|xb|c的最小值简单快捷非常方便，此外本题也可作出函数f(x)的图象，利用数形结合思想方法求解(2)本题第(2)问的求解显然需要构造三维形式柯西不等式的条件及结构特点，因为现有的两组数为和(a，b，c)，因此需构造一组常数(4,9,1)才能符合三维柯西不等式的条件.随堂训练对应学生用书第32页1若aaa1，bbb4，则a1b1a2b2anbn的最大值为()A1B1C2 D2解析：(a1b1a2b2anbn)2(aaa)(bbb)4，a1b1a2b2anbn2，故选C.答案：C2已知a，bR，且a2b10，则a2b2的最小值为()A5 B10C20 D30解析：根据柯西不等式有(a2b2)(122)(a2b)2100.a2b220，当且仅当a2时取等号答案：C3不等式(aaa)(bbb)|a1b1a2b2anbn|中等号成立的条件是_解析：此不等式是柯西不等式的变形，它由柯西不等式两边开平方所得，等号成立的条件与柯西不等式中等号成立的条件相同答案：bi0(i1,2，n)或.
