1、第4节直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：位置关系相离相切相交图形量化方程观点0 0 0 几何观点dr dr dr 2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2| (r1r2)d|r1r2| (r1r2)思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆
2、外切( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程( )答案：(1)(2)(3)(4)小题查验1直线xy10与圆(x1)2y21的位置关系是( )A相切B直线过圆心C直线不过圆心，但与圆相交D相离解析：B依题意知圆心为(1,0)，到直线xy10的距离d0，所以直线过圆心2教材改编若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是( )A3，1B1,3C3,1 D(，31，)解析：C由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.3圆(x2)2y24与圆(x2)2(
3、y1)29的位置关系为( )A内切 B相交C外切 D相离解析：B两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交4圆Q：x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为( )Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20解析：D因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2,0)，所以kPQ，所以切线斜率k，所以切线方程为y(x1)即xy20.5(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.解析：由x2y22y30，得x2(y1)24.圆心C(0，1)，半径r2.圆心C(0，1)到直线xy10的距离d，|AB|222.答案：2 考点一直线与圆的
4、位置关系(自主练透) 题组集训1圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是( )A相切B相交但直线不过圆心C相交过圆心D相离解析：B由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d且 21(12)50，所以直线与圆相交但不过圆心2圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为( )A1B2C3 D4解析：C因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个3圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_.解析：法一：将直线方程代入圆的方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是16
5、k212(k21)1，即1，解得k(，)答案：k(，)4若直线yxb与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是( )Ab(1,1BbCbDb(1,1或b解析：D由x知，曲线表示半圆(如图所示)，让直线yxb在图形中运动，可知当1b1时，与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时1，求得b(舍去)或b.判断直线与圆的位置关系的2大策略(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法考点二圆的切线与弦长问题(多维探究)数学建模直线与圆问题中的核心素养根据圆的方程、直线的方程，结
6、合题目的特点，设元，列式，建立恰当的函数、基本不等式模型解决相关的最值问题命题角度1切线问题1一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A或B或C或 D或解析：D圆(x3)2(y2)21的圆心为C(3,2)，半径r1.如图，作出点A(2，3)关于y轴的对称点B(2，3)由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y(3)k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切可得1，即|5k5|，整理得12k225k120，即(3k4)(4k3)0，解得k或k.故选D.命题角度2弦长问题2过
7、点(1,0)且倾斜角为30的直线被圆(x2)2y21所截得的弦长为( )A.B1C. D2解析：C由题意得，直线方程为y(x1)，即xy10.圆心(2,0)到直线的距离为d，故所求弦长为l22.故选C.命题角度3由弦长求曲线(圆的方程)3(2020丽水模拟)若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x2y0截得的弦长为4，则圆C的方程是( )A(x)2y25 B(x)2y25C(x5)2y25 D(x5)2y25解析：B设圆心为(a,0)(a1，圆心到直线的距离d1，故直线与圆相交2(2020烟台一模)若一个圆的圆心为抛物线yx2的焦点，且此圆与直线3x4y10相切，则该圆的方程是(
8、)Ax2(y1)21B(x1)2y21C(x1)2(y1)21Dx2(y1)21解析：D抛物线yx2，即x24y，其焦点为(0，1)，即圆心为(0，1)，圆心到直线3x4y10的距离d1，即r1，故该圆的方程是x2(y1)21，选D.3圆x2y24x0与圆x2y28y0的公共弦长为( )A. B.C. D.解析：C解法一联立得得x2y0，将x2y0代入x2y24x0，得5y28y0，解得y10，y2，故两圆的交点坐标是(0,0)，则所求弦长为，故选C.解法二联立得得x2y0，将x2y24x0化为标准方程得(x2)2y24，圆心为(2,0)，半径为2，圆心(2,0)到直线x2y0的距离d，则所求
9、弦长为2，选C.4(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3解析：A设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距离为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20的距离为2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知条件可得AB2，所以ABP面积的最大值为ABdmax6，ABP面积的最小值为ABdmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,65已知圆C：(x1)2(y4)210和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MAMB，则实数t的取值范围为( )A2,
10、6 B3,5C2,6 D3,5解析：C本题考查直线与圆的位置关系由题意，知满足条件的t的值在直线x5的两个点的纵坐标之间取值，过此两个点与圆相切的两条直线互相垂直设过点(5，t)的直线方程为ytk(x5)，由相切条件，得，整理，得6k28(4t)k(t4)2100，由题意知此方程的两根满足k1k21，所以1，解得t2或t6，所以2t6，故选C.6(2020广东六校联考)已知集合M(x，y)|x，y为实数，且x2y22，N(x，y)|x，y为实数，且xy2，则MN的元素个数为_.解析：由题意得圆x2y22的圆心(0,0)到直线xy2的距离为d，故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以MN的元
11、素个数为1.答案：17若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_.解析：两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y，如图，由已知得|AC|，|OA|2，|OC|1，a1.答案：18已知直线lxy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.解析：法一：由圆x2y212知圆心O(0,0)，半径r2.圆心(0,0)到直线xy60的距离d3，|AB|22.过C作CEBD于E.如图所示，则|CE|AB|2.直线l的方程为xy60，kAB，则BPD30，从而BDP60.|CD|4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2
12、3y60，解得y1，y22，A(3，)，B(0,2)过A，B作l的垂线方程分别为y(x3)，y2x，令y0，得xC2，xD2，|CD|2(2)4.答案：49已知圆C经过点A(2，1)，和直线xy1相切，且圆心在直线y2x上(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程解：(1)设圆心的坐标为C(a，2a)，则.化简，得a22a10，解得a1.所以C点坐标为(1，2)，半径r|AC|.故圆C的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，
13、由题意得1，解得k，则直线l的方程为yx.综上所述，直线l的方程为x0或3x4y0.10已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)易知圆心坐标为(2,3)，半径r1，由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.
