1、西安市2019届高三年级第三次质量检测理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合B和，然后计算即可.【详解】解：；故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集计算，对数函数的定义域，属于基础题.2.为虚数单位，已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简计算复数，然后计算模长即可.【详解】解：，故选：D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的模长，属于基础题.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析
2、】【分析】，由诱导公式即可求解.【详解】因为，则故应选C【点睛】本题考查诱导公式的应用，合理地进行角的变换的解题关键.4.已知向量，若与垂直，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量垂直可得数量积为，利用坐标运算列出方程，即可解得的值.【详解】因为与垂直，所以，解得故应选B【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题.5.过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为，为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】中，,所以且=c，所以.根据题意有：，即离心率.故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，离心率的求
3、解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解 6.在 中，角，的对边分别为，若的面积和周长分别为和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积和周长公式得出的关系式，再利用角和余弦公式得到关于的方程，可解得的值.【详解】由题意可得，.，由余弦定理可得，解得故应选A【点睛】本题考查利用余弦定理和面积公式解三角形.在运用余弦定理时常用到.7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按程
4、序框图的顺序得出循环结构中每次的赋值，可发现的值呈现周期性变化，再结合循环条件可得输出的值.【详解】当时，时，当时，所以的值呈现周期性变化，周期为.当时，的值与时的值相等，即.当时，不成立，输出故应选D【点睛】本题考查程序框图的输出结果.8.某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得阴影部分与正六边形的面积比等于阴影部分栽种的花卉株数与总的花卉株数之比，则答案易得.【详解】由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的，设阴影部分能栽种株，则有，解得故应选D【点睛】本题考查抽样的基本问题.9.将正方形
5、沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角.【详解】如图，取，的中点，分别为，则，所以或其补角即为所求的角.因为平面垂直于平面，所以平面，所以.设正方形边长为，所以，则.所以.所以是等边三角形，.所以直线与所成的角为故应选B【点睛】本题考查异面直线所成的角.10.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，排除A；当时，排除D故应选C【点睛】函数图象的辨
6、识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11.过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，若三角形的面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由抛物线方程得焦点坐标，得直线的方程，求出点的方程，从而可表示出三角形的面积，解出即可.【详解】过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线的交点为，所以.因为三角形的面积为，所以，解得.故应选B【点睛】本题考查抛物线的方程和焦点等基本问题.12.若定义
7、在上的函数满足且时，则方程的根的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程的根的个数.【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.又时，所以函数的图象如图所示.再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点故应选A【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数有极值，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】三次函数有极值，则有两个不等的实根，则，可解得的取值范围.【详解】由题意可得：.若函数有极值，则一元二次方
8、程有两个不同的实数根，所以，整理可得：，据此可知取值范围是或【点睛】本题考查导数与极值.函数的极值点必为导函数的零点，但在导函数的零点处函数不一定取得极值，还需验证导函数验在零点附近的正负.如果三次函数的导函数(二次函数)对应的方程有两个相同的实根，那么三次函数是没有极值的.14.若实数，满足约束条件，则最大值是_【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，【点睛】本题考查简单的线性规划问题.15.已知函数，对任意，将函数
9、的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数在上的值域为_【答案】【解析】【分析】先由周期性求得，由平移求得，再求三角函数在区间上的值域.【详解】由题意知函数的周期为，即.将函数的图象向右平移个单位后得：，由其图象关于原点中心对称，故.，故.，.，即函数在上的值域为.【点睛】本题考查三角函数的性质，求出三角函数的解析式是解题关键.16.已知正三棱柱的各条棱长都相等，且内接于球，若正三棱柱的体积是，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】先由正三棱柱的体积求出棱长，再求出球的半径和表面积.【详解】设，则正三棱柱的体积是，解得，底面正三角形的外接圆半径， 所以球的半径，所以球的表面积为
10、【点睛】本题考查棱柱的体积、球的表面积，几何体与球的切接问题，根据几何体的结构特征求得球的半径是解题关键.三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.设数列的前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用可求得，利用可得出是等比数列，则可得到的通项公式.(2)根据的通项公式，可用裂项相消法求和.【详解】（1）因为， 所以当时，得；当时，. 两式相减得，所以.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以（2）由（1）得，所以【点睛
11、】本题考查求数列的通项和前项和.18.通过随机调查大学生在购物时是否先询问价格得到如下列联表：男女总计先询问价格不先询问价格总计（1）根据以上列联表判断，能否在反错误的概率不超过的前提下认为性别与是否先询问价格有关系？（2）从被调查的28名不先询问价格的大学生中，随机抽取2名学生调查其优先关注哪个方面的问题，求抽到女生人数的分布列及数学期望附：【答案】（1）能；（2）.【解析】【分析】（1）由二联表中数据计算出，结合附表做出判断；（2）取值可能为，分别计算出概率，列出分布列表格，计算出数学期望即可.【详解】解：（1）由计算可得所以在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与先询问价格之间有关系”（
12、2）的取值可能为，的分布列为的数学期望为【点睛】本题考查了独立性检验，随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.19.已知椭圆：经过点，右焦点到直线的距离为（1）求椭圆的标准方程（2）过点作两条互相垂直的直线 ，分别交椭圆于，两点求证：直线恒过定点【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】(1)由题意列出关于的方程组，解得的值，即可得椭圆的标准方程.(2)设出直线的方程，代入椭圆方程，可求得点的坐标，由即可证得直线恒过定点.【详解】（1）由题意知，解得，所以椭圆的标准方程为（2）证明：显然直线的斜率存在设直线的方程为，联立方程组得，解得，所以，由垂直，可得直线的方程为.用替换前式中的，可得，.则
13、，所以，故直线恒过定点【点睛】本题考查椭圆的综合问题.求椭圆方程的方法一般是解关于的方程组，是简单题. 要证明过两点的直线恒过第三点，相当于证明三点共线，可由用任意两点求得的斜率相等来证.20.如图，在三棱柱中，平面，是的中点，（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明：连接，发现，求出和，并证得，又平面，所以，所以平面，证得；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量为，设平面的法向量为，然后计算夹角即可.【详解】解：（1）证明：连接，因为在中，所以所以，因为所以，又平面，且平面，所以，所以平面，因为平面
14、，所以（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，则，取所以，即二面角的平面角的余弦值为【点睛】本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题.21.已知，函数（1）当时，求曲线在处的切线方程.（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的取值集合；若不存在，请说明理由【答案】（1）.（2）存在实数，使得恒成立，的取值集合为【解析】【分析】(1)由斜率等于导数值求切线方程.(2)恒成立，则的最小值恒大于等于，从而可求得的取值集合，若无解则不存在满足条件的实数.【详解】（1）当时，所以曲线在处的切线方程为，即（2）假设
15、存在实数，使得恒成立.，令，又，则，所以有两个不等根，不妨设.所以在上递减，在上递增.所以成立.因为，所以，所以令，所以在上递增，在上递减.所以.又，所以，.代入，得，所以存在实数，使得恒成立，的取值集合为【点睛】本题考查函数与导数的综合问题.由导数的几何意义求切线方程，恒成立问题一般可转化为最值问题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（是参数）（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若与有两个不同公共点，求【答案】（1）
16、的直角坐标方程为，的普通方程为；（2）【解析】【分析】(1)在极坐标方程中凑出，分别替换为即可化得直角坐标方程.把参数方程中的消去即可得普通方程.(2)为双曲线，为直线，求直线和双曲线相交的弦长，联立方程，由弦长公式即可求得.【详解】由,可得，则，所以的直角坐标方程为.由消去参数得的普通方程为.（2）由（l）知是双曲线，是直线，把直线方程代入双曲线方程消去，得.设，所以，所以【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合问题.解题的一般方法是把极坐标方程化成直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，再在直角坐标系中解决问题.选修4-5：不等式选讲23.已知（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)把化成分段函数求出其最大值，恒成立即，解不等式即可.(2)由的解析式和最值，可得出的取值范围，则结果易求.【详解】（1）所以的最大值为.因为，所以，解得或.所以的取值范围是.（2）由（1）得，所以.因为，所以.所以.所以所以的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值的函数与不等式的综合问题.解题的一般思路是用零点分段讨论法把绝对值函数化成分段函数.
