1、 2021 届建平中学高三三模数学试卷 2021.05 一、填空题 1已知集合2log1Axx=，1,0,1,2,3B=，则 AB=_ 23lim 211nnnnn+=+_ 310()ab二项展开式第六项的系数为_ 4公比为 q 的无穷等比数列 na各项的和为 12，则12aq+=_ 5下图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为_ 6已知非负实数 x、y 满足21xy+，则|1|2xy+的最小值为_ 7函数2tanyx=，0,2x的反函数为_ 8小明给同学发“拼手气”红包，他将 1 角钱分成三份，每份都是 1 分钱的正整数倍，若这三个红包分别被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲抢到 1 分钱的概率为
2、_ 9已知02，若2sin 2410=，则sincos+=_ 10函数21yxaxa=在12,2上单调递增，则实数 a 的取值范围是_ 11若正实数 a、b 满足abab+=，则16baaab+的最小值为_ 12在 ABC 中，已知|1BC=，2BA BC=，点 P 为线段 BC 上的动点，动点 Q 满足 PQPAPBPC=+，则 PQ PB的最小值为_ 二选择题 13有 13 名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前 6 名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道 13 名同学成绩的（）A平均数 B众数 C中位数 D方差 14关于 x、y 的方程组
3、111222a xb yca xb yc+=+=有无穷多组解，则下列说法错误的是（）A1212220aaccac+=B121221210aabbaabb+=C1112220111abcabc=D111122111112222cbcbcbabcabcbab+=15已知数列 na满足120a a，若2121nnnnaaaa+=+，则“数列 na为无穷数列”是“数列 na单调”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D非充分非必要条件 16已知函数2()22f xxx=+，()|21|g xxxt=+，若不等式()()f xg x的解集为(,)(,)a bc d，其中abcd，则(
4、)()bdac+的最大值为（）A1 B2 C3 D4 三解答题 17如图，已知四棱锥 PABCD的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD 底面 ABCD，1PD=（1）求直线 PB 与平面 PCD 所成的角的大小；（2）求四棱锥 PABCD的侧面积 18已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c（1）若23abc=，ABC 的面积23S=，求 c；（2）若coscos3cosABC=，求sinC 19上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出现带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足220t，*t N，经测算，在某一时段，地铁载客量与
5、发车时间间隔 t 相关，当1020t 时地铁可达到满载状态，载客量为 1200 人，当210t 时，载客量会减少，减少的人数与(10)t的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时载客量为 560 人，记地铁载客量为()p t （1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p tQt=（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？20已知椭圆22:142xyC+=，过动点(0,)(0)Mm m 的直线 l 交 x 轴于点 N，交 C 于点 A、P（P 在第一象限），且 M 是线段 PN 的中点，过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另
6、一点 Q，延长QM 交 C 于点 B（1）求椭圆 C 的焦距和短轴长；（2）设直线 PM 的斜率为 k，QM 的斜率为k，证明：kk 为定值；（3）求直线 AB 倾斜角的最小值 21已知无穷数列 na，对于任意给定的正整数 t，设不等式*()ntaat nt对任意*nN 恒成立时*t的取值集合为()T t （1）2nan=，求集合(2)T；（2）若 na为等差数列，公差为 d，求()T t；（3）若对任意2t，*t N，()T t 均为相同的单元素集合，证明：数列 na为等差数列 参考答案：一、填空题（第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分，满分 54 分）1【答案】：1,2
7、 2【答案】：52 3【答案】：252 4【答案】：1 5【答案】：0.36 6【答案】：3 24 7【答案】：arctanyx=，(0,)x+8【答案】：29 9【答案】：2 105 10【答案】：11,2 11【答案】：7 12【答案】：34 二、选择题（每题 5 分，满分 20 分）13【答案】：C 14【答案】：D 15【答案】：B 16【答案】：B 三、解答题（本题共有 5 大题，满分 76 分）17【答案】：（1）因为，PD 底面 ABCD 所以 PDBC，又因为 BCCD，所以 BC 平面 PCD，所以 CPB是直线 PB 与平面 PCD 所成的角，在 Rt PCB 中，2,5B
8、CPC=，2 52 5tanarctan55CPBCPB=所以直线 PB 与平面 PCD 所成的角的大小2 5arctan5（2）四棱锥 PABCD的侧面积 2S2S2 12522 5PCDPCBSCD PDBC PC=+=+=+=+侧 所以四棱锥 PABCD的侧面积为22 5+18【答案】：（1）设232 3abct=，所以3,2bt ct=根据余弦定理可得222222123411cos2122 2 33abctttCabtt+=所以223sin1cos12CC=因为 ABC 的面积23S=，所以 1123sin2 33232212abCtt=，解得2t=，所以4c=（2）由coscosAB
9、=可得 AB=，所以coscos()cos2CABB=又cos3cosBC=，所以cos3cos2BB=，所以()2cos3cos23 2cos1BBB=，解得3cos3B=所以cos1cos33BC=，所以2 2sin3C=19【答案】：（1）由题意知21200(10),210(),1200,1020kttp ttNt=，（k 为常数），2(2)1200(102)120064560pkk=，10k=，221200 10(10),21010200200,210()1200,10201200,1020tttttp ttt+=，2(6)120010(106)1040p=，故当发车时间间隔为 6 分
10、钟时，地铁的载客量 1040 人（2）由6()3360360p tQt=，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020tttttttQtttt+=，当210t 时，368406084060 12120Qtt=+=，当且仅当6t=等号成立；当1020t 时，7200336036038436024Qt=，当10t=时等号成立，由可知，当发车时间间隔为6t=分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为 120 元 20【答案】：（1）因为椭圆 C 的标准方程为22142xy+=，可得2,2,2abc=，所以椭圆 C 的焦
11、距为2 2，短轴长为2 2 （2）证明：设()()0000,0,0P xyxy，由(0,)(0)Mm m 可得()()00,22,P xmQ xm，所以直线 PM 的斜率002mmmkxx=，QM 的斜率0023mmmkxx=，所以0033mkxmkx=，所以 kk 为定值（3）设()()1122,A x yB xy直线 PA的方程为 ykxm=+直线QB 的方程为3ykxm=+联立方程22142ykxmxy=+=，整理得()222214240kxmkxm+=根据根与系数可得20122421mx xk=+，可得()()21202221mxkx=+，所以()()211202221k mykxmm
12、kx=+=+同理()()()()222222002262,181181mk mxymkxkx=+所以()()()()()()()222221222200022223221812118121mmkmxxkxkxkkx=+()()()()()()()()2222212222000622286121812118121k mmkkmyymmkxkxkkx+=+=+所以221216111644AByykkkxxkk+=+由00,0mx，可得0k 所以162 6kk+，当且仅当66k=，取得等号，所以26648mm=，解得147m=，所以直线 AB 倾斜角的最小值为62。21【答案】：（1）因为2nan=
13、，(2)T为满足不等式()*()ntaat ntnN的*t 构成的集合，所以有：2*4(2)nt n，对任意*nN 恒成立 当2n 时，上式可化为*2nt+，所以*5t 当1n=时，上式可化为*3t所以(2)T为3,5 （2）若 na为等差数列，公差为 d，所以*()()ntaant dt nt=当nt时，*td，当nt时，*td，所以*td=，所以()T td=（3）对于数列 na，若对任意*2,ttN，()T t 中均只有同一个元素，不妨设为 a 下面证明数列 na为等差数列 当1nt=+时，1ttaaa+对任意2t 恒成立；当1nt=时，有1ttaaa对任意2t 恒成立，所以1ttaaa+对任意2t 恒成立；所以1ttaaa+=对任意2t 恒成立 所以数列12,nx xx，为等差数列