1、2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养 1理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)1通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养.2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养.1双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其
2、他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|MF2|2a(常数)，且 2a0，即(m1)(m2)(m2)0，解得2m2.(2)依题意有m240，m10，解得2m1.(3)依题意有m240，解得 1m0；2表示焦点在 x 轴上的双曲线的条件是 m0，n0；3表示焦点在 y 轴上的双曲线的条件是 m0，n0，n0.跟进训练1(1)已知双曲线 x2a3 y22a1，焦点在 y 轴上，若焦距为 4，则 a 等于()A32 B5C7D12(2)在方程 mx2my2n 中，若 mn0，则方程所表示的曲线是()A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 x 轴上的双曲线C焦点在 y 轴上的双曲线D焦
3、点在 y 轴上的椭圆(1)D(2)C(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为 y22a x23a1.由其焦距为 4，得 c2，则有 c22a3a4，解得 a12.(2)方程 mx2my2n 可化为x2nmy2nm1.由 mn0 知nm0，b0)，将点 A(4，5)代入双曲线方程得 25a216b21，又 a2b29，解得 a25，b24.双曲线的标准方程为y25x241.法二(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为 F1(0，3)，F2(0,3)且 A(4，5)在双曲线上，则 2a|AF1|AF2|20 80|2 5，a 5，b2c2a2954.即双曲线的标准方程为y25x241.(2)法一 若
4、焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)因为 M(1,1)，N(2,5)在双曲线上，所以 1a2 1b21，22a252b21，解得a278，b27.若焦点在 y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)同理有 1a2 1b21，52a222b21，解得a27，b278(不合题意，舍去)所以所求双曲线的标准方程为x278y271.法二 设所求双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)将点 M(1,1)，N(2,5)代入上述方程，得 mn1，4m25n1，解得m87，n17.所以所求双曲线的标准方程为x278y271.1求双曲线标准方程的步骤(1)确
5、定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出 a2，b2 的值 2当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2By21(AB0，b0)，由题意得 4a2 1b21，c2a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程为x22y21.(2)由双曲线的焦点可知 c 5，线段 PF1 的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为 F2，则有 PF2x 轴，且 PF24，点 P 在双曲线右支上所以 PF12 5242 366，所以 PF1PF26422a，所以 a1，b2c2a24，所以双曲线的方程为 x2y241
6、，选 B双曲线定义的应用探究问题1到两定点 F1，F2 的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支 2若 P 点是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上的一动点，F1，F2 为其左、右焦点，设F1PF2，则 SF1PF2 如何用 表示？提示：SF1PF2 b2tan 2(可借助双曲线的定义及余弦定理推导)【例 3】(1)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_(2)已知 F1，F2 分别是双曲线x29y2161 的左、右焦点，若 P 是双曲线左支上的点，且|
7、PF1|PF2|32.试求F1PF2 的面积思路点拨(1)由两圆外切得等量关系双曲线定义轨迹方程(2)双曲线的定义及余弦定理F1PF2面积公式求 SF1PF2.(1)x2y281(x1)如图，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B，根据两圆外切的条件得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|2，这表明动点 M 与两定点 C2，C1 的距离的差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与C1 的距离小)，这里 a1，c3，则 b28，动
8、圆圆心 M 的轨迹方程为 x2y281(x1)(2)解 因为 P 是双曲线左支上的点，所以|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2 中，由余弦定理，得 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|1001002|PF1|PF2|0，所以F1PF290，所以 SF1PF212|PF1|PF2|123216.把本例(2)的条件“|PF1|PF2|32”换成“F1PF260”，求 SF1PF2.解 由x29y2161 得，a3，b4，c5.由双曲线
9、的定义和余弦定理得|PF2|PF1|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以 102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以 SF1PF212|PF1|PF2|sinF1PF21264 32 16 3.1求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支 2求双曲线中的焦点三角形PF1F2 面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定
10、理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想方法求出|PF1|PF2|的值；利用公式 SPF1F212|PF1|PF2|sinF1PF2 求得面积(2)利用公式 SPF1F212|F1F2|yP|求得面积1双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab 不一定成立要注意与椭圆中 a，b，c 的区别在椭圆中 a2b2c2，在双曲线中 c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于 a，b，c 的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如 mx2ny21(mn0，b0)，则有 a2b2c28，9a210b21，解得 a23，b25.故所求双曲线的标准方程为x23y251.