1、新郑一中分校2015届一测模拟试题 理科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卷上的文字信息，然后在答题卷上作答，在试题卷上作答无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合,则（ ）A (0,2) B 0,2 C0, 2 D0,1, 22. 已知,（a,bR），其中i为虚数单位，则 ( )A. B. C. D.3. 下列命题错误的是（ ）A对于命题，使得，则为：，均有B命题“若，则”的逆否命题为“若， 则” C若为假命题，则均为假命题D“”是“”
2、的充分不必要条件4. 已知函数,则的值为 ( )A . 1 B. C. D. 2 5. 运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ） A 1007 B 1008 C 2013 D 20146. 若对任意角，都有，则下列不等式恒成立的是（ ）第7题图A. B. C. D.7. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A. B. C. D.8. 设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，给出下列4个命题,其中正确命题是（ ）A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若、在平面内的射影互相垂直，则9. 若不等式组表示的平面区域为，所表示的平面区域为，
3、现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为( ) A. B. C. D. 10. 已知点为三角形的外心,且,则( ) A . 5 B. 6 C.8 D. 4 11. 如图，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.12.设函数的定义域为，若存在非零实数满足，均有，且，则称为上的高调函数如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是（ ） A B C D如第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡相应的位置上13. 如果的展开式中二项式系数之和为，则展开式中
4、的系数是_.14. 若数列满足 ， 则该数列的前2014项的乘积_.15. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 16.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排课方法有 （用数字作答）.三解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分） 在中，内角的对边分别为已知 （I）求的值； （II）若，求的面积。18（本小题满分12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面底面ABCD，O是BC的中点。（1）
5、求证：平面ABCD；（2）求证：（3）若二面角DPAO的余弦值为，求PB的长。19、本小题满分12分）某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：后得到如图4的频率分布直方图问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（2）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在的车辆数的分布列及其均值（即数学期望）20、（本小题满分12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；是过点P（0，2）且互相垂直的两条直
6、线，交E于A，B两点，交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N。（1）求椭圆E的方程；（2）求k的取值范围；（3）求的取值范围。21. (本小题满分12分）已知.，函数（e为自然常数).(I) 求证:(II)若且恒成立，则称函数的图象为函数，的“边界”，已知函数，试判断“函数以函数的图象为边界”和“函数，的图象有且仅有一个公共点这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）如图，圆O1与圆O2相交于A，B 两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E
7、，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与O1、O2交于C，D两点求证：（1）PAPD=PEPC； （2）AD=AE23. 已知直线C1（t为参数），C2（为参数），（）当=时，求C1与C2的交点坐标；（）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.24. 选修4-5：不等式选讲（本小题10分）已知函数（I）当时，求函数的定义域；（II）若关于的不等式的解集是，求的取值范围新郑一中分校2015届一测模拟试题 理科数学一、选择题题号123456789101112答案DDCAADBCABAA二、填空题13. 14.-6 15. 16.432
8、解之得，所以为所求19（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于（2分）设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：，解得即中位数的估计值为 (5分)（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），车速在的车辆数为：（辆） (7分)， ，的分布列为012 (10分)均值. 20题 21.解：证明：记，则，-2分令，注意到，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增-4分，即，所以-5分由知，对恒成立，当且仅当时等号成立， 记，则“恒成立”与“函数的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即对恒成立，当且仅当时等号成立，所以函数在时取极小值，-7分注意到，由，解得，-9分此时， 由知，函数在上单调递减，在上单调递增， 即=0，-11分 综上，两个条件能同时成立，此时-12分 23.（）当时，的普通方程为，的普通方程为.联立方程组 ，解得与的交点为（1,0）.5分（）的普通方程为.A点坐标为，故当变化时，P点轨迹的参数方程为：P点轨迹的普通方程为.故P点轨迹是圆心为，半径为的圆. 24. 24.解：（I）由题设知：，1分 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，3分解得函数的定义域为； 5分（II）不等式即， 6分时，恒有， 8分不等式解集是，的取值范围是 10分