1、第3讲 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题 基础题组练1(2020南阳模拟)若x，y满足约束条件则zy的最小值为()A1 B2 C1 D2解析：选A.作出x，y满足约束条件的平面区域如图所示(阴影部分)：由图易得，目标函数zy在点A处取最小值，为1.故选A.2(2020福建漳州一模)若实数x，y满足则xy()A有最小值无最大值 B有最大值无最小值C既有最小值也有最大值 D既无最小值也无最大值解析：选A.如图中阴影部分所示即为实数x，y满足的可行域，由得A.由图易得当x，y时，xy有最小值，没有最大值故选A.3已知变量x，y满足则z的最小值为()A. B C. D解析：选B.因为z2，所以
2、求z的最小值，即求动点(x，y)与定点A(0，1)连线斜率的最小值再加2，画出不等式组所表示的可行域(图略)，可得zmin2.故选B.4不等式组表示的平面区域为，直线ykx1与区域有公共点，则实数k的取值范围为()A(0，3 B1，1C(，3 D3，)解析：选D.直线ykx1过定点M(0，1)，由图可知，当直线ykx1经过直线yx1与直线xy3的交点C(1，2)时，k最小，此时kCM3，因此k3，即k3，)故选D.5实数x，y满足(a1)，且z2xy的最大值是最小值的4倍，则a的值是()A. B C. D解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标
3、函数z2xy经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z2xy经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由343a，得a.6(一题多解)(2020开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则z的最大值是_解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设ux2y，由图知，当ux2y经过点A(1，3)时取得最小值，即umin1235，此时z取得最大值，即zmax32.法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z，即可求得最大值联立得解得A(1，3)，代入可得z32；联立得解得B，代入可得z；联立得
4、解得C(2，0)，代入可得z4.通过比较可知，在点A(1，3)处，z取得最大值32.答案：327若变量x，y满足约束条件则(x2)2y2的最小值为_解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，设z(x2)2y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小由得即C(0，1)，此时zmin(02)212415.答案：58已知点A(2，1)，O是坐标原点，P(x，y)的坐标满足：，设z，则z的最大值是_解析：法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示z2xy，作出直线2xy0并平移，可知当直线过点C时，z取得最大值，由，得，即C(1，2
5、)，则z的最大值是4.法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域z2xy，易知目标函数z2xy的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(3，0)代入z2xy，对应z的值为0，4，6，故z的最大值是4.答案：49.如图所示，已知D是以点A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3，2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110，4xy1
6、00.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18，14)10已知x，y满足，记点(x，y)对应的平面区域为P.(1)设z，求z的取值范围；(2)过点(5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l的方程解：平面区域如图所示(阴影部分)，易得A，B，C三点坐标分别为A(4，3)，B(3，0)，C(1，0)(1)由z知z的值即是定点M(3，1)与区域内的点Q(x，y)连接的直线的斜率，当直线过A(4
7、，3)时，z4；当直线过C(1，0)时，z.故z的取值范围是(，4).(2)过点(5，1)的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点(5，1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(3，1)，故直线l的方程是，即xy40.综合题组练1若存在实数x，y，m使不等式组与不等式x2ym0都成立，则实数m的取值范围是()Am0 Bm3 Cm1 Dm3解析：选B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(4，2)，B(1，1)，C(3，3)设zx2y，将直线l：zx2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax4220，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin323
8、3，因此zx2y的取值范围为3，0因为存在实数m，使不等式x2ym0成立，即存在实数m，使x2ym成立，所以m大于或等于z的最小值，即3m，解得m3，故选B.2设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是()A. BC. D解析：选C.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，交点C的坐标为(m，m)，直线x2y2的斜率为，斜截式方程为yx1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y02，则点C(m，m)必在直线x2y2的下方，即mm1，解得m，所以m的取值范围是，故选C.3不等式组的解集记为D，则“任意的(x，y)D，使xya成
9、立”的必要不充分条件是()Aa0 Da2解析：选A.画出不等式组表示的区域D，如图中阴影部分所示，其中A(2，2)，B(1，2)，C(1，3)，任意的(x，y)D，使xya成立，则a(xy)min，平移直线xy0，易知当直线经过点C(1，3)时，xy取得最小值，(xy)min2，则a2，故必要不充分条件可以是a0，故选A.4已知实数x，y满足则zyln x的取值范围为_解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A(，0)，B(3，0)，C(，)由图可知，当yln xz过点A(，0)时z取得最大值，zmax0lnln 6.设yln xz的图象与直线yx3相切于点M(x0，y0)，由yln xz得y，
10、令1得x01，故yln xz与yx3切于点M(1，2)时，z取得最小值，zmin2ln 12.所以zyln x的取值范围为2，ln 6答案：2，ln 65已知点A(5，5)，直线l：xmyn(n0)过点A.若可行域的外接圆的直径为20，求n的值解：注意到直线l：xy0也经过点A，所以点A为直线l与l的交点画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示设直线l的倾斜角为，则ABO.在OAB中，OA10.根据正弦定理，得20，解得或.当时，tan ，得m.又直线l过点A(5，5)，所以55n，解得n10.当时，同理可得m，n0(舍去)综上，n10.6某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种
11、主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解：(1)由已知得，x，y满足的数学关系式为设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx， 这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(20，24)所以zmax220324112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元