1、双曲线的定义与标准方程的应用(习题课)A级基础巩固1直线yx1被双曲线2x2y23所截得的弦的中点坐标是()A(1，2)B(2，1)C(1，2) D(2，1)解析：选C由得x22x40，因为2241(4)0，所以直线与双曲线有两个不同交点设两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1x22，故x01，y0x012，因此AB的中点坐标为(1，2)2已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A.B. C.D.解析：选D由c2a2b24得c2，所以F(2，0)，将x2代入x21，得y3，所以
2、|PF|3.又A的坐标是(1，3)，故APF的面积为3(21).3已知双曲线的方程为x2y2a2(a0)，与直线yx交于A，B两点，若|AB|2，则该双曲线的方程为()Ax2y26 Bx2y29Cx2y216 Dx2y225解析：选B双曲线的方程x2y2a2(a0)与直线方程yx联立，得x2a2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x20，x1x2，|AB| a2，a3，故选B.4已知双曲线x2y24，F1是左焦点，P1，P2是右支上两个动点，则|F1P1|F1P2|P1P2|的最小值是()A4 B6C8 D16解析：选C设F2为双曲线的右焦点，因为|F1P1|2a|F2P1|，|F1
3、P2|2a|F2P2|，所以|F1P1|F1P2|P1P2|8|F2P1|F2P2|P1P2|8，当且仅当P1，F1，F2三点共线时等号成立，故选C.5(多选)已知F1(3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|PF2|2m1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则实数m可以是下列数据中的()A2 B1C4 D3解析：选AB设双曲线的方程为1(a0，b0)，则c3.2a2c6，|2m1|6，且|2m1|0，m且m，A、B满足条件故选A、B.6已知F是双曲线1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析：如图所示，F(4，0)，设F为双曲线的右焦点，则F(4，0)，
4、点A(1，4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，得|PF|PF|2a4，而|PF|PA|PF|PF|PF|PA|4|PF|PA|4|AF|459，当且仅当A，P，F三点共线时取等号答案：97已知直线l：ykx1与双曲线C：1有且只有一个公共点，则k_解析：由得(94k2)x28kx400，(*)当94k20，即k时，方程(*)有唯一解符合题意；当94k20，需64k2160(94k2)0，解得k，故k或.答案：或8已知定点A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹是_解析：A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，|FA|CA|2a，|FB|CB|
5、2a，|FA|CA|FB|CB|，|FA|FB|CB|CA|2|AB|14，点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支答案：以A，B为焦点的双曲线的下半支9.如图，过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(3，0)，F2(3，0)因为直线AB的倾斜角是30，且经过右焦点F2，所以直线AB的方程为y(x3)由消去y，得5x26x270.解得x13，x2.将x1，x2的值分别代入，得y12，y2.于是，A，B两点的坐标分别为(3，2)，.所以|AB|.10.如图，某农场在P处有一堆肥料，现要把这堆肥料沿小道PA或
6、PB经过A或B稍稍休息后再沿直线送到AB另一侧的大田ABCD中去现测得|PA|2 km，|PB|4 km，APB60.在大田中一定存在一条界线S，满足界线S上的点由小道PA或PB送肥料的距离相等，证明此界线S在一条确定的曲线上以AB所在直线为x轴、AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，写出界线S的方程解：建立题设的平面直角坐标系，如图，设M(x，y)(y0) 为界线上任意一点，则依题意有|MA|PA|MB|PB|，即所以M在双曲线x21(x0，y0)上即界线S的方程为x21(x0，y0)B级综合运用11已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点的距离为4，则n的取值范围是()A(1，3) B(1，
7、)C(0，3) D(0，)解析：选A双曲线1的两焦点间的焦距为4，当焦点在x轴上时，应满足解得1n3.当焦点在y轴上时，应满足此不等式组无解，故选A.12设F1，F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，的值为()A2 B3C4 D6解析：选B设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|24，SPF1F2|F1F2|y0|2，|y0|1.又y1，x3(y1)6.(2x0，y0)(2x0，y0)xy43.13.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_解析：设双曲线的标准方程为1(a0
8、，b0)由题意得B(2，0)，C(2，3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案：x2114已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长解：双曲线方程可化为1，故a21，b23，c2a2b24，c2.F2(2，0)，又直线l的倾斜角为45，直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为yx2，代入双曲线方程，得2x24x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x20.A，B两点不位于双曲线的同一支上x1x22，x1x2，|AB|6.C级拓展探究15.如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆AD
9、B中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB30，曲线C是满足|MA|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程解：法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得|MA|MB|PA|PB|2|AB|4.曲线C是以A，B为焦点的双曲线则c2，2a2，a22，b2c2a22.故曲线C的方程为1.法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得|MA|MB|PA|PB|AB|4.曲线C是以A，B为焦点的双曲线设双曲线的方程为1(a0，b0)，则有解得故曲线C的方程为1.