1、2022学年第一学期12月阶段测试高二数学试题卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知空间向量a=(1,-1,0)，b=(3,-2,1)，则|a+b|=()A. 5B. 6C. 5D. 262. 张邱建算经记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布()A. 180尺B. 110尺C. 90尺D. 60尺3. 方程x2+y2+2x-m=0表示一个圆，则m的取值范围是()A. -1,+B. -,-1C. -1,+)D. (-,-14. 直线l:mx
2、-3m+y-1=0(mR)过定点A，则点A的坐标为()A. (-3,1)B. (-3,-1)C. (3,-1)D. (3,1)5. 已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为()A. -1或2B. 0或2C. 2D. -16. 已知M(1,2)，N(4,5)，直线l过点P(2,-1)且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是()A. -,-1313,+B. -3,3C. -13,13D. -,-33,+1. 若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离d的最小值是 ()A. 5B. 6C. 23D.
3、252. 已知F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=3|QF|，且PFQ=120，则椭圆E的离心率为()A. 76B. 13C. 74D. 215二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）3. 已知e为直线l的方向向量，n1,n2分别为平面,的法向量(,不重合)，那么下列说法中正确的有()A. en1l/B. n1n2C. n1/n2/D. en1l4. 关于x，y的方程x2m2+2+y23m2-2=1(其中m223)对应的曲线可
4、能是()A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在x轴上的双曲线D. 焦点在y轴上的双曲线5. 若圆x2+y2=r2(r0)上恒有4个点到直线x-y-2=0的距离为1，则实数r的可能取值是()A. 2B. 3+1C. 3D. 2+16. 设F1、F2分别是双曲线C：x2m+n-y2m-n=1的左、右焦点，且|F1F2|=4，则下列结论正确的有()A. m=2B. 当n=0时，C的离心率是2C. 当0n0,b0)的离心率为5，虚轴长为4，(1)求双曲线C的标准方程；(2)若过点(0,1)，倾斜角为45的直线l与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，求AOB的面积8. (本小题12
5、.0分)已知点F为抛物线C：x2=2py(p0)的焦点，点A(m,3)在抛物线C上，且|AF|=5.若点P是抛物线C上的一个动点，设点P到直线x-2y-6=0的距离为d(1)求抛物线C的方程；(2)求d的最小值9. (本小题12.0分)如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率是12，短轴长为23，椭圆的左、右顶点分别为A1、A2，过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A,B两点，与抛物线E相交于P,Q两点，点M为PQ的中点(1)求椭圆C和抛物线E的方程; (2)记ABA1的面积为S1，MA2Q的面积为S2，若S13S2，求直线l在y轴上截距的范围2022学年第一学期12月阶段
6、测试高二数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知空间向量a=(1,-1,0)，b=(3,-2,1)，则|a+b|=()A. 5B. 6C. 5D. 26【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础先求a+b，再求模【解答】解：a=(1,-1,0)，b=(3,-2,1)，a+b=(4,-3,1)，|a+b|=42+(-3)2+12=26故选：D张邱建算经记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布()A. 180尺B. 110尺C. 90
7、尺D. 60尺【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前n项和求解本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列知识在生产生活中的合理运用【解答】解：由题意知每日织布量构成等差数列an，a1=5，a30=1，S30=302(5+1)=90(尺)1. 方程x2+y2+2x-m=0表示一个圆，则m的取值范围是()A. -1,+B. -,-1C. -1,+)D. (-,-1【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，解不等式即可得到结果【解答】解：方程x2+y2+2x-m=0，即x+12
8、+y2=1+m，此方程表示圆时，应有1+m0，解得m-1，故选A直线l:mx-3m+y-1=0(mR)过定点A，则点A的坐标为()A. (-3,1)B. (-3,-1)C. (3,-1)D. (3,1)【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题在直线方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线恒过定点的坐标【解答】解：直线l:mx-3m+y-1=0(mR)可化简为m(x-3)+y-1=0，故可得x-3=0y-1=0，可得x=3，y=1，故可得直线l:mx-3m+y-1=0(mR)过定点A(3,1)故选D1. 已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0
9、与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为()A. -1或2B. 0或2C. 2D. -1【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用两条直线平行求参数的值，考查了推理能力与计算能力，要注意重合的特殊情况，属于基础题由题意知aa-(a+2)=0，即a2-a-2=0，解得a，经过验证即可得出【解答】解：由题意知aa-a+2=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去a=-1故选：D已知M(1,2)，N(4,5)，直线l过点P(2,-1)且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是()A. -,-1313,+B. -3,3C. -13,13D. -,-33,
10、+【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率，属于基础题根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可【解答】解：kPN=5-(-1)4-2=3，kPM=2-11-2=-3，且直线l与线段MN相交，kl-3或kl3，故选D若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离d的最小值是 ()A. 5B. 6C. 23D. 25【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的交点坐标以及两点间的距离公式，以及利用配方法求一元二次函数的最小值，属于中档题应先根据y=2x和x+y=3求得交点，代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0，利用两点距离公式表示出点到原
11、点的距离，将m用n表示代入后，利用配方法求得最小值【解答】解：联立y=2xx+y=3，解得x=1y=2，把(1,2)代入mx+ny+5=0，得m+2n+5=0，m=-5-2n，点(m,n)到原点的距离d=m2+n2=(5+2n)2+n2=5(n+2)2+55，当且仅当n=-2，m=-1时取等号点(m,n)到原点的距离的最小值为5故选A已知F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=3|QF|，且PFQ=120，则椭圆E的离心率为()A. 76B. 13C. 74D. 215【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆几何性质的运用，考查
12、转化思想以及计算能力，是中档题【解答】设椭圆右焦点为F，连接PF，QF，根据椭圆对称性可知四边形PFFQ为平行四边形，则|QF|=|PF|，因为PFQ=120，可得FPF=60，所以|PF|+|PF|=4|PF|=2a，则|PF|=12a，|PF|=32a，由余弦定理可得(2c)2=|PF|2+|PF|2-2|PF|PF|cos60=(|PF|+|PF|)2-3|PF|PF|，即4c2=4a2-94a2=74a2，即c2a2=716故椭圆离心率e=c2a2=716=74二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）10. 已知e为直线l的方向向量，n1,n2分别为平面,
13、的法向量(,不重合)，那么下列说法中正确的有()A. en1l/B. n1n2C. n1/n2/D. en1l【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案【解答】解：因为e为直线l的方向向量，n1,n2分别为平面,的法向量(,不重合)，A.en1l/或l，故错误；B.n1n2正确；C.n1/n2/正确；D.en1l/或l，故错误，故选BC关于x，y的方程x2m2+2+y23m2-2=1(其中m22
14、3)对应的曲线可能是()A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在x轴上的双曲线D. 焦点在y轴上的双曲线【答案】ABC【解析】解：当3m2-20且m2+2=3m2-2，即m223且m2=2时，曲线为x24+y24=1，即x2+y2=4，为以(0,0)为圆心，2为半径的圆；当3m2-20且m2+23m2-2，即23m20且m2+22时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，当3m2-20，即m20)上恒有4个点到直线x-y-2=0的距离为1，则实数r的可能取值是()A. 2B. 3+1C. 3D. 2+1【答案】BC【解析】解：作出到直线x-y-2=0的距离为1的点的轨迹，得到与直线x
15、-y-2=0平行，且到直线x-y-2=0的距离等于1的两条直线，圆x2+y2=r2的圆心为原点， 原点到直线x-y-2=0的距离为d=|0-0-2|2=2，两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为d=2+1，又圆x2+y2=r2(r0)上有4个点到直线x-y-2=0的距离为1，两条平行线与圆x2+y2=r2有4个公共点，即它们都与圆x2+y2=r2相交由此可得圆的半径rd，即r2+1，实数r的取值范围是(2+1,+)故选：BC到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与x2+y2=r2有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加
16、以计算，可得r的取值范围，从而可得结论本题给出已知圆上有四个点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属中档题2. 设F1、F2分别是双曲线C：x2m+n-y2m-n=1的左、右焦点，且|F1F2|=4，则下列结论正确的有()A. m=2B. 当n=0时，C的离心率是2C. 当0n2时，F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D. 当n=1时，C的实轴长是虚轴长的两倍【答案】AC【解析】【分析】本题考查双曲线简单的几何性质，点到直线的距离公式，属于中档题根据题意，得出a，b，c关于m，n的代数式，再逐一分析各选项即可【解答】解：因为F1、F2分别是双
17、曲线C：x2m+n-y2m-n=1的左、右焦点，且|F1F2|=4，所以a2=m+nb2=m-nc2=a2+b2=2m=F1F222=4，可得c=m=2a=2+nb=2-n，故A正确；当n=0时，a=2，C的离心率是ca=2，故B错误；当n=1时，a=3,b=1，C的实轴长是虚轴长的2a2b=3倍，故D错误；F1(-c,0)到渐近线y=bax的距离为d=bca2+b2=b=2-n，当0n0,b0)的离心率为5，虚轴长为4，(1)求双曲线C的标准方程；(2)若过点(0,1)，倾斜角为45的直线l与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，求AOB的面积【答案】解：(1)依题意可得ca=52b=4c2=
18、a2+b2，解得a=1,b=2,c=5，双曲线的标准方程为x2-y24=1；(2)直线l的方程为y=x+1，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由y=x+14x2-y2=4，可得3x2-2x-5=0，=4+60=640，x1+x2=23，x1x2=-53，即|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=249+203=823，原点到直线l的距离为d=22，于是SOAB=12|AB|d=1282322=43，OAB的面积为43【解析】本题考查双曲线的方程、双曲线的简单几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于基础题(1)根据已知条件及c2
19、=a2+b2可得关于a,b,c的方程组，从而可求得a,b,c；(2)由点斜式可得直线l方程，与双曲线联立消去y可得关于x的一元二次方程.可得两根之和，两根之积.由弦长公式可得|AB|，根据点到面的距离公式可得原点到直线l的距离，从而可求得OAB的面积1. (本小题12.0分)已知点F为抛物线C：x2=2py(p0)的焦点，点A(m,3)在抛物线C上，且|AF|=5.若点P是抛物线C上的一个动点，设点P到直线x-2y-6=0的距离为d(1)求抛物线C的方程；(2)求d的最小值【答案】解：(1)因为抛物线C：x2=2py(p0)，所以抛物线C的准线为y=-p2A(m,3)在抛物线C上，由抛物线的定
20、义，得AF=yA+p2=3+p2=5，解得p=4，所以抛物线C的方程为x2=8y(2)方法一 设点P的坐标为(x0,y0)，因为点P在抛物线C上，所以x02=8y0，则P到直线x-2y-6=0的距离d=x0-2y0-65=x0-218x02-65=x0-22+2045当x0=2时，d取到最小值，且d的最小值为2045=5方法二 设直线x-2y-6=0的平行线x-2y+c=0与抛物线C：x2=8y相切，由x-2y+c=0x2=8y，得x2-4x-4c=0，所以=16+16c=0，解得c=-1，故所求d的最小值为-1-612+22=5【解析】本题主要考查抛物线的定义以及几何性质(1)由抛物线的定义
21、，得AF=yA+p2=3+p2=5，解得p=4，可得方程(2)法一：P到直线x-2y-6=0的距离为d=|x0-2y0-6|5=|x0-218x02-6|5=(x0-2)2+2045.当x0=2时，d取到最小值，求解即可法二：由x-2y+c=0x2=8y得x2-4x-4c=0，令=16+16c=0，解得c=-1，即可求解1. (本小题12.0分)如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率是12，短轴长为23，椭圆的左、右顶点分别为A1、A2，过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A,B两点，与抛物线E相交于P,Q两点，点M为PQ的中点(1)求椭圆C和抛物线E的方程; (2)记A
22、BA1的面积为S1，MA2Q的面积为S2，若S13S2，求直线l在y轴上截距的范围【答案】解：(1)根据题意得：2b=23e=ca=12a2=b2+c2，解得a=2，b=3，c=1，所以，抛物线焦点F1,0，所以，椭圆C:x24+y23=1，拋物线E:y2=4x；(2)设l:x=ty+1t0,Ax1,y1,Bx2,y2,Px3,y3,Qx4,y4，联立l与椭圆C:x=ty+1x24+y23=1，整理得：3t2+4y2+6ty-9=0，判别式：=(6t)2-43t2+4-9=144t2+1，弦长公式：AB=1+t2y1-y2=1+t2144t2+13t2+4，点A1-2,0到直线l的距离为31+
23、t2，所以S1=12AB31+t2=181+t23t2+4，联立l与抛物线E:y2=4xx=ty+1，整理得：y2-4ty-4=0，判别式：=(-4t)2-4-4=16t2+1，弦长公式：PQ=1+t2y3-y4=1+t2161+t2，点A22,0到直线l的距离为11+t2所以S2=12SPQA2=1212PQ11+t2=1+t2，因为S13S2，即181+t23t2+431+t2，解得：-63t63所以，直线l在y轴上截距-1t-62或-1t62，所以，直线l在y轴上截距取值范围是(-,-6262,+)【解析】本题主要考查椭圆和抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，属于中档题利用所给条件求出方程，分别联立直线l与椭圆，抛物线，求出弦长公式，进而求出面积
