1、微专题2导数应用的经典题型突破利用导数研究函数的单调性和极值(最值)是高考的常见题型，常将导数与函数、方程、不等式等知识交汇命题，难度偏向中高档一、利用导数研究函数的单调性问题例1已知函数f(x)ax2ln x(aR)(1)若函数f(x)在区间1，)上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性解(1)f(x)a(x0)当a0时，f(x)0时，令g(x)ax22xa，函数f(x)在区间1，)上是单调函数，g(x)0在区间1，)上恒成立，a在区间1，)上恒成立令u(x)，x1，)u(x)1，当且仅当x1时取等号a1.当a1时，函数f(x)单调递增实数a的取值范围是(，01，)(
2、2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)可知：当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a1时，此时函数f(x)在(0，)上单调递增当0a1时，由ax22xa0，解得x或x.函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递减，当0a1时f(x)在，上单调递增，在上单调递减，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增反思感悟利用导数研究函数的单调性应注意以下几点(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集(4)求参数的范围时常用到分离参数法二、利用
3、导数研究函数的极值与最值问题例2已知函数f(x)2axln(2x)，x(0，e，其中e是自然对数的底数，aR.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解(1)当a1时，f(x)2xln(2x)，f(x)2，x(0，e，当0x时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当x0，此时f(x)单调递增所以f(x)的极小值为f1，故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，f(x)的极小值为f1，无极大值(2)假设存在实数a，使f(x)2axln(2x)，x(0，e有最小值3，f(x)2a，x(0，e，当a0时，因
4、为x(0，e，所以f(x)0，f(x)在(0，e上单调递减，所以f(x)minf(e)2aeln(2e)3，解得a(舍去)；当0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1ln3，解得ae2，满足条件；当e，即0a时，f(x)cos xf(x)恒成立，则()A.ffB.ffC.f2fD.ff(x)cos x，得f(x)sin xf(x)cos x0，构造函数g(x)，则g(x).当x时，g(x)0，即函数g(x)在上单调递增，gg，ff(x)，且f(0)2，则不等式f(x)f(x)，g(x)0，即函数g(x)在R上单调递减f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)
5、0，不等式的解集为(0，)反思感悟解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决五、利用导数证明不等式例5已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)当x1时，证明：x2ln x0，则f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0，得0x0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(2)证明令g(x)x3x2ln x, 则g(x)2x2x，当x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，所以x3x2ln x0，即x2ln xx3.反思感悟利用导数证明不等式(比较大小)常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考察这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解
