1、课时跟踪检测（十） 空间向量在立体几何中的应用A级基础巩固1已知A(1，1，2)，B(2，3，1)，C(1，0，0)，则ABC的面积是()A BC D解析：选C易知(1，4，3)，(2，1，2)，|，|3，cos ，sin ，SABC|sin ，.2.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE的中点，则()A.C，E，F，G四点共面，且CFEGBC，E，F，G四点共面，且CFEGCC，E，F，G四点不共面，且CFEGDC，E，F，G四点不共面，且CFEG解析：选B如图，连接AC，则点G在AC上且AGGC，连接EC.因
2、为AFFE，AGGC，所以由三角形的中位线定理可知FGEC，所以C，E，F，G四点共面以D为原点，分别为DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(1，0，)，G(1，1，0)，C(0，2，0)，F，所以CF，EG2CF.故选B.3(多选)已知四边形ABCD为正方形，GD平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，下列结论正确的是()ADEBFBEF与CH所成角为CEC平面DBFDBF与平面ACFE所成角为解析：选ABC由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示以D为原点，DA，DC
3、，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设ADDCDG2，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1).(2，0，2)，(2，0，2)，4040，DEBF，A是正确的；(2，2，0)，(1，0，1).设EF与CH所成的角为，cos .，B是正确的；(2，2，2)，(2，2，0)，(0，2，2).设n(x，y，z)是平面DBF的一个法向量，n0，n0，即取x1，n(1，1，1).2n，n，EC平面DBF，C是正确的(2，0，2)，由图易得m(1，1，0)是平面ACFE的一个法向量，设BF与平面ACFE所成的角为，sin
4、|cos ，m|，D是不正确的故选ABC.4.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A BC D解析：选D如图，连接BD交AC于点O，连接OF，四边形ABCD为菱形，O为AC的中点，ACBD.F为PC的中点，OFPA.PA平面ABCD，OF平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D，结合图形可知，且为平面BDF的一个法向量由，可求得平面BCF的一个法向量n(1，).cos n，sin n，tan n，.5.如图，正
5、方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF之和为_解析：以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设CEx，DFy，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)，(x1，0，1)，(1，1，y)，由于B1E平面ABF，所以(1，1，y)(x1，0，1)0，则xy1.答案：16正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为_解析：如图，设棱长为2，建立以A1为原点，A
6、1B1，A1D1，A1A所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则平面A1ECF的一个法向量为n(2，1，1)，A1B1的方向向量为(2，0，0)，设A1B1与截面A1ECF的夹角为，则sin |cos n，|，cos ，tan .答案：7在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，M为BB1的中点，N为BC的中点(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0，(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d
7、.(2)设平面MA1C1的法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，即(x，y，z)(0，2，0)0，且(x，y，z)(2，0，1)0，即y0且2xz0，取x1，得z2，故n(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0，因为N(1，1，0)，所以(1，1，1)，故点N到平面MA1C1的距离d|n0|.B级综合运用8长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA15，P是棱DD1上的动点，则PA1C的面积最小时，DP()A1 B2C D4解析：选A根据题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设DPx(0x5)
8、，故可得P(0，2，x)，A1(0，0，5)，C(1，2，0)，由空间中两点之间的距离公式可得A1P，PC，A1C.故在PA1C中，由余弦定理可得cos A1PC，则sin A1PC，故SPA1CsinA1PCA1PPC，当且仅当x1时，PA1C的面积最小，所以DP1.故选A.9如图所示，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图所示(1)求证A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小解：(1)证明：ACBC，DEBC，DEAC，DEA1D，DECD，DE平
9、面A1DC，又A1C平面A1DC，DEA1C.又A1CCD，A1C平面BCDE.(2)以C为原点，CB，CD，CA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，则易得A1(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，1，)，B(3，0，0)，E(2，2，0).设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，又(3，0，2)，(1，2，0)，令y1，则x2，z，n(2，1，).设CM与平面A1BE所成的角为.(0，1，)，sin |cos n，|，CM与平面A1BE所成角的大小为.10.直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F分别是CC1，BC的中点，A
10、EA1B1，D为棱A1B1上的点(1)证明：DFAE；(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：因为AEA1B1，A1B1AB，所以AEAB.又因为AA1AB，AA1AEA，所以AB平面A1ACC1.又因为AC平面A1ACC1，所以ABAC.以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有A(0，0，0)，E，F，A1(0，0，1)，B1(1，0，1).设D(x，y，z)，且0，1，即(x，y，z1)(1，0，0)，则D(，0，1)，所以.因为，所以0，所以DFAE.(2)存在一点D，使得平面DEF与平
11、面ABC所成角的余弦值为.理由如下：由题可知平面ABC的一个法向量为m(0，0，1).设平面DEF的法向量为n(a，b，c)，则因为，所以即令c2(1)，则n(3，12，2(1).因为平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为，所以|cos mn|，即，解得或(舍)，所以当D为A1B1的中点时满足要求C级拓展探究11.如图所示，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60，且|F1|F2|F3|200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？解：如图所示，以点A为原点
12、，平面ABC为xAy坐标平面，方向为y轴正方向，|为y轴的单位长度，建立空间直角坐标系Axyz，则正三角形的顶点坐标分别为A(0，0，0)，B(0，1，0)，C.设力F1方向上的单位向量坐标为(x，y，z)，由于F1与，的夹角均为60，利用向量的数量积运算，得cos 60(x，y，z)(0，1，0)，cos 60(x，y，z).由解得x，y.注意到向量(x，y，z)是单位向量，x2y2z21，因此z.于是F1200.类似地，可以求出F2200，F3200.这样，它们的合力F1F2F3200200(0，0，)，这说明，作用在钢板上的合力方向向上，大小为200 kg，作用点为O.由于200500，所以钢板仍静止不动要提起这块钢板，设|F1|，|F2|，|F3|均为k，则需k500，解得k.因此，要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于 kg.