1、7.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()A4B3C2D1答案A解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3(2020秦皇岛模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b
2、相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确故选C.4.如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CDD直线BC答案C解析由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.5.
3、如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面答案A解析连结A1C1，AC(图略)，则A1C1AC，A1，C1，A，C四点共面，A1C平面ACC1A1，MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上A，M，O三点共线6(2019海南联考)在四棱锥PABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是P
4、C的中点，则异面直线OP与BM所成角为()A30B45C60D90答案C解析如图，由题意可知O是正方形ABCD的中心，取N为OC的中点，连结MN，所以OPMN，则BMN是异面直线OP与BM所成的角因为OP平面ABCD，所以MN平面ABCD，因为在四棱锥PABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，所以OC2，所以OP2，因此MN，在RtBON中，BN，tanBMN，BMN60，则异面直线OP与BM所成的角为60.故选C.7(多选)如图是正方体的平面展开图在这个正方体中，下列四个命题中，正确的命题是()ABM与ED平行BCN与BE是异面直线CCN与BM成60角DDM与BN垂直答案CD解
5、析由题意画出正方体的图形如图，显然AB不正确；ANC60，即CN与BM成60角，C正确；因为BCDM，CNDM，BCCNC，BC，CN平面BCN，所以DM平面BCN，又BN平面BCN，所以DMBN，所以D正确故选CD.8(多选)关于正方体ABCDA1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的说法是()A若点P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变B若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1C若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角的范围为D若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角答案AB解析对于A，
6、由BC1AD1，可得BC1平面AD1C，则P到平面AD1C的距离不变，由AD1C的面积为定值，可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变，故A正确；对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；对于C，直线AP与DC所成角即为PAB，当P与C1重合时，PAB最大，最大值为arctan，故C错误；对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为，故D错误所以其中说法正确的是A，B.9正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有_条答案6解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角
7、线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条10如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_答案解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角
8、的正切值为.11.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)解取CD的中点G，连结EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.12.
9、如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连结DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.13(2019湖南省长沙市湖南师范大学附属中学模拟)已知平面平面直线l，点A，C，点B，D，且A，B，C，Dl，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是()A当|CD
10、|2|AB|时，M，N不可能重合BM，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C当直线AB，CD相交，且ACl时，BD可与l相交D当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行答案B解析A选项：当|CD|2|AB|时，若A，B，C，D四点共面且ACBD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项：若M，N可能重合，则ACBD，故ACl，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项：当AB与CD相交，直线ACl时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项：当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误故选B.14平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平
11、面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，则m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小又B1CB1D1CD1(均为面对角线)，CD1B1，得sinCD1B1，故选A.15.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，EDPA，且PAEDAB，现将CDE以直线DE为轴旋转一周后，则直线BP与动直线CE所成角的范
12、围是_答案解析如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动则B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大由于PAEDAB，故PBAEB1D.而DEDC1，故ECD，所以CEB1.而EC2DECD，故B1EC2.所以所求线线角的取值范围是.16.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判断
13、BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值解(1)方法一如图所示，取AE的中点O，连结OF，过点O作OMAC于点M.因为ECAC，OM，EC平面ACC1A1，所以OMEC.又因为EC2FB2，ECFB，所以OMFB且OMECFB，所以四边形OMBF为矩形，BMOF.因为OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点方法二如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连结PQ，PB，BQ.因为EC2FB2，所以PEBF且PEBF，所以四边形PEFB为平行四边形，所以PBEF，PQAE，又AE，EF平面AEF，PQ，PB平面AEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因为PBPQP，PB，PQ平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因为BQ平面PBQ，所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点(2)由(1)知，BM与EF异面，OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM与EF所成的角的余弦值为.
